⌈算法进阶⌋图论::并查集——快速理解到熟练运用

目录

 一、原理

1. 初始化Init

  2. 查询 find 

3. 合并 union

二、代码模板

三、练习

1、  990.等式方程的可满足性🟢

2、  1061. 按字典序排列最小的等效字符串🟢

3、721.账户合并 🟡

4、  839.相似字符串组🟡

5、  2812.找出最安全路径 🔴

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 一、原理

并查集主要运用与求一些不相交且有关联的集合的合并，这一点我们从后面的例题中进一步理解，我们首先掌握并查集的原理和运用

并查集的主要操作有：

1. 初始化Init

我们将每个数据看作一个树的节点，初始化每个节点指针指向自己

我们用一个数组fa[]的下标index表示节点， 用fa[index]表示该节点的根节点；

  2. 查询 find 

查询一个节点的根节点，以用于其他操作；

如上图， 若要查询数据3所在的集合的根节点，想做图这样的链接方式每次查询需要O(n)的时间，我们需要在查询时将树的结构转换成右图所示，这样之后的每次查询时间复杂度为O(logn)

3. 合并 union

实现两个集合的合并，可以抽象成两颗树的合并，即将两颗树的根节点相连；

二、代码模板

//初始化
vector<int> fa(n* n);
iota(fa.begin(), fa.end(), 0);//查询
function<int(int)> find = [&](int x) -> int { return x == fa[x] ? x : fa[x] = find(fa[x]); };  //合并
fa[find(x)] = find(y);   

三、练习

1、  990.等式方程的可满足性🟢

给定一个由表示变量之间关系的字符串方程组成的数组，每个字符串方程 equations[i] 的长度为 4，并采用两种不同的形式之一："a==b" 或 "a!=b"。在这里，a 和 b 是小写字母（不一定不同），表示单字母变量名。

只有当可以将整数分配给变量名，以便满足所有给定的方程时才返回 true，否则返回 false。 

解题思路：合并等式方程两侧字母，运用并查集管理相等字母集合

class Solution {
public:bool equationsPossible(vector<string>& equations) {//初始化vector<int> fa(26);iota(fa.begin(), fa.end(), 0);//查询function<int(int)> find = [&](int x) -> int { return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]); };for (auto s : equations) {if (s[1] == '=') {int x = s[0] - 97, y = s[3] - 97;fa[find(x)] = find(y);   //相等则合并}}for (auto s : equations) {int x = s[0] - 97, y = s[3] - 97;if (s[1] == '!' && find(x) == find(y)) return false;   //矛盾，返回false}return true;}
};

2、  1061. 按字典序排列最小的等效字符串🟢

给出长度相同的两个字符串s1 和 s2 ，还有一个字符串 baseStr 。

其中  s1[i] 和 s2[i]  是一组等价字符。

• 举个例子，如果 s1 = "abc" 且 s2 = "cde"，那么就有 'a' == 'c', 'b' == 'd', 'c' == 'e'。

等价字符遵循任何等价关系的一般规则：

•  自反性 ：'a' == 'a'
•  对称性 ：'a' == 'b' 则必定有 'b' == 'a'
•  传递性 ：'a' == 'b' 且 'b' == 'c' 就表明 'a' == 'c'

例如， s1 = "abc" 和 s2 = "cde" 的等价信息和之前的例子一样，那么 baseStr = "eed" , "acd" 或 "aab"，这三个字符串都是等价的，而 "aab" 是 baseStr 的按字典序最小的等价字符串

利用 s1 和 s2 的等价信息，找出并返回 baseStr 的按字典序排列最小的等价字符串。

 解题思路：由等价关系可以一眼看出这道题使用并查集，s1与s2对应字母放入一个集合(即将其合并)，最终找到baseStr每个字母对应的集合中的最小字典序字母

class Solution {
public:string smallestEquivalentString(string s1, string s2, string baseStr) {//初始化vector<int> fa(26);iota(fa.begin(), fa.end(), 0);//查询function<int(int)> find = [&](int x) -> int { return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]); };for (int i = 0; i < s1.size(); i++) {int x = s1[i] - 97, y = s2[i] - 97;fa[find(y)] = find(x);   //合并}unordered_map<int, set<char>> g;   //统计以根节点代表的一个集合中的所有节点for (int i = 0; i < 26; i++) {g[find(i)].insert(i + 97);}for (int i = 0; i < baseStr.size(); i++) {//利用set默认排升序的特点，找到baseStr[i]的根节点的集合中的最小字母baseStr[i] = *(g[find(baseStr[i] - 97)].begin());   }return baseStr;}   
};

3、721.账户合并 🟡

给定一个列表 accounts，每个元素 accounts[i] 是一个字符串列表，其中第一个元素 accounts[i][0] 是 名称 (name)，其余元素是 emails 表示该账户的邮箱地址。

现在，我们想合并这些账户。如果两个账户都有一些共同的邮箱地址，则两个账户必定属于同一个人。请注意，即使两个账户具有相同的名称，它们也可能属于不同的人，因为人们可能具有相同的名称。一个人最初可以拥有任意数量的账户，但其所有账户都具有相同的名称。

合并账户后，按以下格式返回账户：每个账户的第一个元素是名称，其余元素是 按字符 ASCII 顺序排列 的邮箱地址。账户本身可以以 任意顺序 返回。

解题思路：根据题意，拥有相同邮箱的账户为同一人，最终需要将相同用户的邮箱合并到一起，同样也是一眼并查集，但是代码实现起来可能有些复杂；首先需要遍历所有邮箱，判断是否有重复，将拥有同一邮箱的用户合并，需要特别注意的是，用户名相同不代表是同一人，最终将属于同一集合的用户邮箱用set去重，返回结果；

class Solution {
public:vector<vector<string>> accountsMerge(vector<vector<string>>& accounts) {int n = accounts.size();//以accounts的下标[0, n)作为用户名字，方便以下标寻找父亲vector<int> fa(n);iota(fa.begin(), fa.end(), 0);    //初始化function<int(int)> find = [&](int i) -> int { return fa[i] == i ? i : fa[i] = find(fa[i]); };//key:邮箱  val:名字unordered_map<string, vector<int>> email_name;for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 1; j < accounts[i].size(); j++) {    //遍历每个账户的所有邮箱email_name[accounts[i][j]].push_back(i);//如果同一个邮箱出现多个名字，那么认为为同一个人，此时连接if (email_name[accounts[i][j]].size() > 1) {fa[find(email_name[accounts[i][j]][0])] = find(i);   //合并}}}//之前尝试用map,但是同一个名字可能不是同一人，所以map行不通//用set去重vector<set<string>> g(n);for (int i = 0; i < n; i++) {int f = find(i);   //找到根节点，将邮箱插入到根节点的数组中for (int j = 1; j < accounts[i].size(); j++) {g[f].insert(accounts[i][j]);    }}vector<vector<string>> ans;for (int i = 0; i < n; i++) {if (g[i].size() != 0) {    vector<string> tmp = {g[i].begin(), g[i].end()};  //将set转vectortmp.insert(tmp.begin(), accounts[i][0]);   //头插名字ans.push_back(tmp);}}return ans;}
};

4、  839.相似字符串组🟡

如果交换字符串 X 中的两个不同位置的字母，使得它和字符串 Y 相等，那么称 X 和 Y 两个字符串相似。如果这两个字符串本身是相等的，那它们也是相似的。

例如，"tars" 和 "rats" 是相似的 (交换 0 与 2 的位置)； "rats" 和 "arts" 也是相似的，但是 "star" 不与 "tars"，"rats"，或 "arts" 相似。

总之，它们通过相似性形成了两个关联组：{"tars", "rats", "arts"} 和 {"star"}。注意，"tars" 和 "arts" 是在同一组中，即使它们并不相似。形式上，对每个组而言，要确定一个单词在组中，只需要这个词和该组中至少一个单词相似。

给你一个字符串列表 strs。列表中的每个字符串都是 strs 中其它所有字符串的一个字母异位词。请问 strs 中有多少个相似字符串组？

解题思路：暴力遍历+dfs查询相似字符串，将相似字符串合并，最终返回集合个数

class Solution {
public:int numSimilarGroups(vector<string>& strs) {int n = strs.size();//初始化vector<int> fa(n);iota(fa.begin(), fa.end(), 0);//查询function<int(int)> find = [&](int x) -> int { return x == fa[x] ? x : fa[x] = find(fa[x]); };   int vis[n];memset(vis, 0, sizeof(vis));//dfsfunction<void(int)> is_same = [&](int i) -> void {vis[i] = true;string& s1 = strs[i];for (int j = 0; j < n; j++) {if (!vis[j]) {string& s2 = strs[j];if (s1 == s2) {    //相同字符串相似，直接合并fa[find(j)] = fa[i];is_same(j);} else {int dif = 0;for (int k = 0; k < s1.size(); k++) {if (s1[k] != s2[k]) dif++;if (dif > 2) break;}if (dif == 2) {         //恰有两个位置字符不同则相似，合并fa[find(j)] = fa[i];is_same(j);}}}}};//dfs入口for (int i = 0; i < n; i++) {if(!vis[i]) is_same(i);}//用set去重，返回集合个数set<int> ans;for (int i = 0; i < n; i++) ans.insert(find(i));   //将根节点插入set中return ans.size();}
};

5、  2812.找出最安全路径 🔴

给你一个下标从 0 开始、大小为 n x n 的二维矩阵 grid ，其中 (r, c) 表示：

• 如果 grid[r][c] = 1 ，则表示一个存在小偷的单元格
• 如果 grid[r][c] = 0 ，则表示一个空单元格

你最开始位于单元格 (0, 0) 。在一步移动中，你可以移动到矩阵中的任一相邻单元格，包括存在小偷的单元格。

矩阵中路径的 安全系数 定义为：从路径中任一单元格到矩阵中任一小偷所在单元格的 最小 曼哈顿距离。

返回所有通向单元格 (n - 1, n - 1) 的路径中的 最大安全系数 。

单元格 (r, c) 的某个 相邻 单元格，是指在矩阵中存在的 (r, c + 1)、(r, c - 1)、(r + 1, c) 和 (r - 1, c) 之一。

两个单元格 (a, b) 和 (x, y) 之间的 曼哈顿距离 等于 | a - x | + | b - y | ，其中 |val| 表示 val 的绝对值。

解题思路：由题，求从左上角到右下角路径中的最小安全系数的最大值：倒序枚举答案(安全系数)， 将>=当前安全系数的坐标用并查集相连(合并)，一次循环结束判断左上角与右下角是否相连

class Solution {
public:static constexpr int dirs[5] = {1, 0, -1, 0, 1};int maximumSafenessFactor(vector<vector<int>>& grid) {int n = grid.size();vector<pair<int, int>> q;vector<vector<int>> dis(n, vector<int>(n, -1));for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0;j < n; j++) {if(grid[i][j] == 1) {q.push_back({i, j});dis[i][j] = 0;}}}//bfs求每个点安全系数，及不同安全系数的值的下标（用于后续并查集的合并）vector<vector<pair<int, int>>> groups = {q};while (!q.empty()) {int safe = groups.size();vector<pair<int, int>> tmp;for (auto &[i, j] : q) {for (int k = 0; k < 4; k++) {int x = i + dirs[k], y = j + dirs[k + 1];if (x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < n && dis[x][y] < 0) {dis[x][y] = safe;tmp.push_back({x, y});}}}if (tmp.size() > 0)groups.push_back(tmp);q = move(tmp);}//初始化vector<int> fa(n*n);for (int i = 0; i < n * n; i++) fa[i] = i;//查询function<int(int)> find = [&](int x) -> int { return x == fa[x] ? x : fa[x] = find(fa[x]); };for (int ans = groups.size() - 1; ans > 0; ans--) {for (auto& [i, j] : groups[ans]) {for (int k = 0; k < 4; k++) {int x = i + dirs[k], y = j + dirs[k + 1];if (x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < n && dis[x][y] >= dis[i][j]) fa[find(x * n + y)] = find(i * n + j);  //合并}}if (find(0) == find((n - 1) * n + n - 1)) return ans;   //相通则返回答案}return 0;}
};