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n-皇后问题

news 2026/4/12 20:03:09

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题目

关于n皇后正对角线和反对角线的详细解释

即为什么是dg[x+i]、udg[x-i+n]?
是通过数组下标去维护正反对角线。
通过相同的数组下标保证遍历正反对角线上的点。
(1)x + i实际上是对应的行号加上列号
在这里插入图片描述

注：如图,通过行号加列号,保证了正对角线每个数组下标都一致相同。
所以在判断的时候只需要设置为dg[x+i]即可访问该正对角线上的所有点。

(2)x - i实际上是对应的行号减去列号
会出现负数情况，需要再加上一个n。
即 x-i+n
在这里插入图片描述

注：如图，通过行号减去列号，保证了反对角线上每个数组下标一致(虽然还存在部分的负数)
负数的处理很好办,再加上n,即可将负数保证为正数,这样就不会出现数组下标越界的问题。
所以在判断的时候只需要设置为**udg[x-i+n]**即可访问该反对角线上的所有点。

原理(解析几何)

对于y=k*x+b直线方程
给定一个斜率k和截距b我们可以唯一确定这一条直线
在这里插入图片描述

注：左为正对角线dg[],右为反对角线udg[]。

有了上述的几何基础,我们可以代入到本题中。
在这里插入图片描述

说明：途图中的y为行号(x) , x为列号(i)。
注：找到一个如图的b值,结合直线的斜率便可以唯一确定这一条直线。
对于这条直线上所有的点截距均为b
所有我们只需要找到截距，便可以遍历该对角线上的所有点。

N定义为20的原因

x+i=9+9=18,为防止边界多开一些空间定义为20个单位。

Accode

import java.util.*;
public class Main{static int N=20;static char g[][]=new char [N][N];static boolean dg[]=new boolean[N];static boolean udg[]=new boolean[N];static boolean col[]=new boolean[N];static int n;public static void main(String []args){Scanner in = new Scanner(System.in);n=in.nextInt();for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<n;j++){g[i][j]='.';}}dfs(0);}public static void dfs(int x){if(x==n){for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<n;j++){System.out.print(g[i][j]);}System.out.println();}System.out.println();return;}//因为我们是去看每一行的位置是否满足，每一行去dfs保证每一行至多只有一个皇后//所以在标记判断的时候，标记上列和正对角线和反对角线即可for(int i=0;i<n;i++){if(!col[i]&&!dg[x+i]&&!udg[x-i+n]){g[x][i]='Q';col[i]=dg[x+i]=udg[x-i+n]=true;dfs(x+1);col[i]=dg[x+i]=udg[x-i+n]=false;g[x][i]='.';//不满足的标为 .}}
}
}

n-皇后问题

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