高等数学：线性代数-第二章

第2章 矩阵及其运算

2.1 线性方程组和矩阵

$\mathbf{n}$ 元线性方程组 设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组
$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$$
当常数项 $b_i$ 不全为零时，称该方程组为n 元非齐次线性方程组，当 $b_i$ 全为零时，称该方程组为n 元齐次线性方程组。

矩阵 由 $m\times n$ 个数 $a_{ij}$ 排成的 m 行 n 列的数表
$$\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}$$
称为 $m\times n$矩阵，记作
$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$$
特别地，当 m = n 时，该矩阵叫做n 阶方阵。

增广矩阵 对于非齐次线性方程组
$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$$
它的系数矩阵、未知数矩阵和常数项矩阵分别如下：
$$\begin{array}{rl}& \mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{m\times n}\\ & \mathbf{x}=\left(\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_n\end{array}\right)\\ & \mathbf{b}=\left(\begin{array}{cccc}{b}_1& b_2& \cdots & b_m\end{array}\right)\end{array}$$
它的增广矩阵定义为
$$\mathbf{B}=(\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{b}\end{array})=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& b_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}& b_m\end{array}\right)$$
对角矩阵 方阵

$$\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)$$
叫做对角矩阵，简称对角阵，记作 $\mathrm{diag}(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& {\lambda }_2& \cdots & {\lambda }_n\end{array})$ .

单位矩阵 对角矩阵 $\mathrm{diag}(\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\end{array})$ 叫做 n 阶单位矩阵，简称单位阵，记作 ${\mathbf{E}}_n$ .

2.2 矩阵的运算

矩阵加法
$$\begin{array}{rl}\mathbf{A}+\mathbf{B}& =\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{m1}& b_{m2}& \cdots & b_{mn}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \cdots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \cdots & a_{2n}+b_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \cdots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right)\end{array}$$
矩阵加法满足：
$$\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{B}+\mathbf{A}(\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}=\mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C})$$
矩阵数乘
$$\begin{array}{rl}c\mathbf{A}& =c\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc}c{a}_{11}& c{a}_{12}& \cdots & c{a}_{1n}\\ c{a}_{21}& c{a}_{22}& \cdots & c{a}_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ c{a}_{m1}& c{a}_{m2}& \cdots & c{a}_{mn}\end{array}\right)\end{array}$$
矩阵数乘满足：
$$c\mathbf{A}=\mathbf{A}c(\lambda \mu )\mathbf{A}=\lambda (\mu \mathbf{A})(\lambda +\mu )\mathbf{A}=\lambda \mathbf{A}+\mu \mathbf{A}\lambda (\mathbf{A}+\mathbf{B})=\lambda \mathbf{A}+\lambda \mathbf{B}$$
矩阵乘法 对于 $m\times s$矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $s\times n$矩阵 $\mathbf{B}$ ，它们的乘法定义为 $\mathbf{C}=\mathbf{A}\mathbf{B}=(c_{ij}{)}_{m\times n}$ ，且满足
$$c_{ij}=\sum _{k=1}^s{a}_{ik}{b}_{kj}(i\in \mathbb{Z}\le m,j\in \mathbb{Z}\le n)$$
矩阵乘法满足：
$$(\mathbf{A}\mathbf{B})\mathbf{C}=\mathbf{A}(\mathbf{B}\mathbf{C})c(\mathbf{A}\mathbf{B})=(c\mathbf{A})\mathbf{B}=\mathbf{A}(c\mathbf{B})\mathbf{A}(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A}\mathbf{B}+\mathbf{A}\mathbf{C}(\mathbf{B}+\mathbf{C})\mathbf{A}=\mathbf{B}\mathbf{A}+\mathbf{C}\mathbf{A}$$
需要注意的是，
$$\mathbf{A}\mathbf{B}\ne \mathbf{B}\mathbf{A}(\mathbf{B}\ne \mathbf{E}).$$
矩阵转置 矩阵 $\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{m\times n}$的转置矩阵记作 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ ，且满足
$${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}=(a_{ji}{)}_{n\times m}$$
矩阵转置满足：
$$({\mathbf{A}}^T{)}^T=\mathbf{A}(\mathbf{A}+\mathbf{B}{)}^{\mathrm{T}}={\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}+{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}(\lambda \mathbf{A}{)}^{\mathrm{T}}=\lambda {\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}(\mathbf{A}\mathbf{B}{)}^{\mathrm{T}}={\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$$
方阵的行列式 由 n 阶方阵 $\mathbf{A}$的元素所构成的行列式，称为方阵 $A$ 的行列式，记作 $\det \mathbf{A}$或 $|\mathbf{A}|$

方阵的行列式满足：
$$|{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}|=|\mathbf{A}||\lambda \mathbf{A}|={\lambda }^n|\mathbf{A}|$$
其中 n 为矩阵 $\mathbf{A}$的阶数
$$|A\mathbf{B}|=|A||\mathbf{B}|$$

2.3 逆矩阵

伴随矩阵 行列式 | \bm{A} | 的各个元素的代数余子式 A_{ij} 所构成的如下的矩阵
$${\mathbf{A}}^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)$$
称为矩阵 $\mathbf{A}$的伴随矩阵，简称伴随阵，记作 ${\mathbf{A}}^{\ast }$

矩阵 $\mathbf{A}$和它的伴随矩阵 ${\mathbf{A}}^{\ast }$ 满足
$$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\ast }={\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{A}=|\mathbf{A}|\mathbf{E}$$
逆矩阵 对于 n 阶矩阵 $\mathbf{A}$，如果有一个 n 阶矩阵 $\mathbf{B}$ ，使得
$$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{E}$$
则说矩阵 $\mathbf{A}$是可逆的，并把矩阵 $\mathbf{B}$称为矩阵 $\mathbf{A}$的逆矩阵，简称逆阵，记作 ${\mathbf{A}}^{-1}$.

如果矩阵 $\mathbf{A}$是可逆的，那么 $\mathbf{A}$ 的逆矩阵是惟一的。

矩阵 $\mathbf{A}$ 可逆的充分必要条件是 $|\mathbf{A}|\ne 0$ 。若$|\mathbf{A}|\ne 0$，则
$${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{|\mathbf{A}|}{\mathbf{A}}^{\ast }$$
逆矩阵满足：
$$({\mathbf{A}}^{-1}{)}^{-1}=\mathbf{A}(\lambda \mathbf{A}{)}^{-1}={\lambda }^{-1}{\mathbf{A}}^{-1}$$
若 $\mathbf{A}$、 $\mathbf{B}$ 为同阶矩阵且均可逆，则
$$(\mathbf{A}\mathbf{B}{)}^{-1}={\mathbf{B}}^{-1}{\mathbf{A}}^{-1}$$
奇异矩阵 不可逆矩阵叫做奇异矩阵。

非奇异矩阵 可逆矩阵叫做非奇异矩阵。

2.4 Cramer法则

Cramer法则 如果线性方程组
$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots =b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots =b_2\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots =b_n\end{array}$$
的系数矩阵 A 的行列式不等于零，即
$$\left|A\right|=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\ne 0$$
则该方程组有惟一解
$$x_i=\frac{\left|A_i\right|}{\left|A\right|}$$
其中
$$A_i=\left(\begin{array}{ccccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1,i-1}& b_1& a_{1,i+1}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{n,i-1}& b_n& a_{n,i+1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$$