并查集(高级数据结构)-蓝桥杯

一、并查集

• 并查集(Disioint Set)：一种非常精巧而实用的数据结构·用于处理不相交集合的合并问题。

• 用于处理不相交集合的合并问题。

• 经典应用：

• 连通子图。

• 最小生成树Kruskal算法。

• 最近公共祖先。

二、应用场景

有n个人，他们属于不同的帮派。
已知这些人的关系，例如1号、2号是朋友，1号、3号也是朋友，那么他们都属于一个帮派。
问有多少帮派，每人属于哪个帮派。有n个人一起吃饭，有些人互相认识认识的人想坐在一起，而不想跟陌生人坐。
例如A认识B，B认识C，那么A、B、C会坐在一张桌子上。
给出认识的人，问需要多少张桌子。

• 用并查集可以很简洁地表示这个关系。

三、并查集的操作

• 初始化

• 定义s[ ]是以结点i为元素的并查集。

• 初始化：令s[i]=i (联想：某人的号码是i，他属于帮派s[i])。

• 代码：

• 合并

• 加入第一个朋友关系(1,2)：

• 在并查集s中，把结点1合并到结点2，也就是把结点1的集1改成结点2的集2。

• 加入第二个朋友关系(1,3)：

• 查找结点1的集，是2，递归查找元素2的集是2；把元素2的集2合并到结点3的集3。此时，结点1、2、3都属于一个集。

• 加入第三个朋友关系(2,4)：

• 查找结点1的集，是2，递归查找元素2的集是2；把元素2的集2合并到结点3的集3。此时，结点1、2、3都属于一个集。

• 代码：

• 查找

• 查找元素的集，是一个递归的过程，直到元素的值和它的集相等，就找到了根结点的

集。

• 代码：

• 这棵搜索树，可能很细长,复杂度O(n)，变成了一个链表，出现了树的“退化”现象。

• 总结

• 代码：

四、有多少个集(帮派) ?

• 如果s[i] = i，这就是一个根结点，是它所在的集的代表(帮主)。统计根结点的数量，就是集的数量。

• 复杂度：

• 查找find_set()、合并merge_set()的搜索深度是树的长度，复杂度都是O(n)。性能较差，不是高级数据结构应有的复杂度。

• 复杂度的优化：

• 能优化吗? 能 目标：优化之后，复杂度≈O(1)。

• 查询的优化(路径压缩)：

• 查询程序find_set()：沿着搜索路径找到根结点，这条路径可能很长。

• 优化：沿路径返回时，顺便把i所属的集改成根结点。下次再搜，复杂度是O(1)。

• 代码：

• 优化前后代码对比：

• 路径压缩总结：

• 路径压缩通过递归实现。

• 整个搜索路径上的元素，在递归过程中，从元素i到根结点的所有元素，它们所属的集都被改为根结点。

• 路径压缩不仅优化了下次查询，而且也优化了合并，因为合并时也用到了查询。

五、蓝桥杯真题(1135号)

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六、蓝桥杯真题(1135号)

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七、蓝桥杯真题(185号)

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1.暴力法

• 1≤N≤100000

• 每读入一个新的数，就检查前面是否出现过，每一次需要检查前面所有的数。共有n个数，每个数检查O(n)次，总复杂度O(n^3)，超时。

• 暴力法1

• 暴力法2

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2.查重，hash或set()

• 改进，用hash。定义vis[]数组，vis[i]表示数字i是否已经出现过。这样就不用检查前面所有的数了，基本上可以在O(1)的时间内定位到。

• 或：直接用set判断是否重复，也是O(1)。

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3.改进：记忆法

• 本题特殊要求：“如果新的Ai仍在之前出现过，小明会持续给Ai加1，直到Ai,没有在A1~Ai-1中出现过。”这导致在某些情况下，仍然需要大量的检查。

• 以5个6为例：A[ ]={6,6,6,6,6}。

• 第一次读A[1]=6，设置vis[6]=1。

• 第二次读A[2]=6，先查到vis[6]=1，则把A[2]加1，变为a[2]=7；再查vis[7]=0，设置vis[7]=1。检查了2次。

• 第三次读A[3]=6，先查到vis[6]=1，则把A[3]加1得A[3]=7； 再查到vis[7]=1，再把A[3]加1得A[3]=8，设置vis[8]=1； 最后查vis[8]=0，设置vis[8]=1。检查了3次。

......

• 每次读一个数，仍需检查O(n)次，总复杂度O(n^2)。

• 本题用Hash，在特殊情况下仍然需要大量的检查。

• 问题出在“持续给Ai加1，直到Ai没有在A1~Ai-1中出现过”。

• 也就是说，问题出在那些相同的数字上。当处理一个新的Ai时，需要检查所有与它相同的数字。

如果把这些相同的数字看成一个集合，就能用并查集处理。

• 用并查集s[i]表示访问到i这个数时应该将它换成的数字。

• 以A[ ]={6,6,6,6,6}为例。初始化set[i]=i。

• 图(1)读第一个数A[0]= 6。6的集set[6]= 6。紧接着更新set[6] = set[7] = 7，作用是后面再读到某个A[k]=6时，可以直接赋值A[k] = set[6]= 7。

• 图(2)读第二个数A[1]=6。6的集set[6]=7，更新A[1]= 7。紧接着更新set[7]= set[8]= 8。如果后面再读到A[k]= 6或7时，可以直接赋值A[k]= set[6]= 8或者A[k]= set[7]=8。

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• 只用到并查集的查询，没用到合并。

• 必须是“路径压缩”优化的，才能加快查询速度。没有路径压缩的并查集，仍然超时。

• 复杂度O(n)