运用谱分解定理反求实对称矩阵

谱分解定理

设三阶实对称矩阵 $A$，若矩阵 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$，对应的单位化特征向量分别为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 且两两正交，则 $A={\lambda }_1{\alpha }_1{\alpha }_1^{\mathrm{T}}+{\lambda }_2{\alpha }_2{\alpha }_2^{\mathrm{T}}+{\lambda }_3{\alpha }_3{\alpha }_3^{\mathrm{T}}$。

【注 1】在考研范围内，只适用于实对称矩阵。
【注 2】特征向量必须两两正交且单位化！

证明：三阶实对称矩阵 $A$ 可相似对角化，存在正交矩阵 $Q=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$，使得 $Q^{\mathrm{T}}AQ=\Lambda =\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & {\lambda }_3\end{array}\right]$。

所以有：$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & {\lambda }_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1^{\mathrm{T}}\\ {\alpha }_2^{\mathrm{T}}\\ {\alpha }_3^{\mathrm{T}}\end{array}\right]={\lambda }_1{\alpha }_1{\alpha }_1^{\mathrm{T}}+{\lambda }_2{\alpha }_2{\alpha }_2^{\mathrm{T}}+{\lambda }_3{\alpha }_3{\alpha }_3^{\mathrm{T}}$。

定理的运用

什么时候运用谱分解定理最方便？

（1）当特征值出现 $0$ 时，运用定理可减少计算量（参见解法一）；

（2）当特征值出现二重根 $k$ 时，可先运用定理计算出具体的 $A-kE$，再算出实对称矩阵 $A$（参见解法二）；

（3）运用该定理甚至不需要求出所有的特征向量！

【例】设 $3$ 阶实对称矩阵 $A$ 的秩为 $2$，${\lambda }_1={\lambda }_2=6$ 是 $A$ 的二重特征值，若 ${\alpha }_1=(1,1,0{)}^{\mathrm{T}},{\alpha }_2=(2,1,1{)}^{\mathrm{T}},{\alpha }_3=(-1,2,-3{)}^{\mathrm{T}}$，都是 $A$ 属于特征值 $6$ 的特征向量，求矩阵 $A$。

【解法一】由 $r(A)=2$ 可得特征值 ${\lambda }_1={\lambda }_2=6,{\lambda }_3=0$，将 ${\alpha }_1=(1,1,0{)}^{\mathrm{T}},{\alpha }_2=(2,1,1{)}^{\mathrm{T}}$ 进行单位正交化得：${\xi }_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0{)}^{\mathrm{T}},{\xi }_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2{)}^{\mathrm{T}}$。

运用谱分解定理：

$$\begin{array}{rl}A& ={\lambda }_1{\xi }_1{\xi }_1^{\mathrm{T}}+{\lambda }_2{\xi }_2{\xi }_2^{\mathrm{T}}\\ & =3{\xi }_1{\xi }_1^{\mathrm{T}}+{\xi }_2{\xi }_2^{\mathrm{T}}\\ & =3\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right](1,1,0)+\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right](1,-1,2)\\ & =\left[\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 2& 4& -2\\ 2& -2& 4\end{array}\right]\end{array}$$

【解法二】先求出 $A$ 的另一特征值和对应的特征向量 ${\lambda }_3=0,{\alpha }_3=(-1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$，进行单位正交化：${\xi }_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(-1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$。

由于 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1={\lambda }_2=6,{\lambda }_3=0$，所以 $A-6E$ 的特征值为 ${\lambda }_1={\lambda }_2=0,{\lambda }_3=-6$，注意到其对应的特征向量仍然不变，因此可以先求出 $A-6E$，运用谱分解定理：

$$\begin{array}{rl}A-6E& ={\lambda }_3{\xi }_3{\xi }_3^{\mathrm{T}}\\ & =-2\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right](-1,1,1)\\ & =\left[\begin{array}{ccc}-2& 2& 2\\ 2& -2& -2\\ 2& -2& -2\end{array}\right]\end{array}$$

所以有：

$$\begin{array}{rl}A& =(A-6E)+6E\\ & =\left[\begin{array}{ccc}-2& 2& 2\\ 2& -2& -2\\ 2& -2& -2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}6& & \\ & 6& \\ & & 6\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 2& 4& -2\\ 2& -2& 4\end{array}\right]\end{array}$$