第六章，线性变换，1-线性变换、表示矩阵、线性算子

玩转线性代数(32)线性变换的相关概念的笔记，相关证明以及例子见原文

线性变换

一个将向量空间V映射到向量空间W的映射L，如果对所有的$v_1,v_2\in V$及所有的标量$\alpha$和$\beta$，有$L(\alpha v_1+\beta v_2)=\alpha L(v_1)+\beta L(v_2)$
则称L为V到W上的一个线性变换，记为$L:V\to W$
判断方法：若L为V到W上的一个线性变换，等价于：
$L(v_1+v_2)=L(v_1)+L(v_2);L(\lambda v_1)=\lambda L(v_1)$

表示矩阵

对任一矩阵$A_{m\ast n}$，可以定义一个由$R^n$到$R^m$的线性变换$L_A$，称A为$L_A$的表示矩阵。而每一线性变换均可由矩阵来定义，如果是$R^n$上的线性算子，则其对应矩阵为n阶方阵。

线性算子

如果V与W相同，称$L:V\to V$为V上的一个线性算子，是一个向量空间到其自身的线性变换。

$R^2$中特殊的线性变换

示意图见原文

旋转变换算子

$A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$
绕逆时针旋转$\theta$角

反射变换算子

$B_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$
x轴对称
$B_2=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$
y轴对称

投影变换算子

$C_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$
只取了x坐标，所以是投影到x轴
$C_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$
只取了y坐标，所以是投影到y轴

伸压变换算子

$D_1=\left(\begin{array}{cc}t& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$
x坐标缩放t倍，y不变
$D_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& t\end{array}\right)$
x坐标不变，y缩放t倍

剪切变换算子

$E_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ k& 1\end{array}\right)$
x不变，将x坐标的k倍加到y上，离y轴越远(x绝对值越大)形变越大（垂直变换）
$E_2=\left(\begin{array}{cc}1& k\\ 0& 1\end{array}\right)$
y不变，将y坐标的k倍加到x上，离x轴越远(y绝对值越大)形变越大（水平变换）