坐标系概念 四元数 欧拉角

1、四个概念：“地理”坐标系、“机体”坐标系、他们之间换算公式、换算公式用的系数。

地理坐标系：东、北、天，以下简称地理。在这个坐标系里有重力永远是（0,0,1g），地磁永远是（0,1,x）（地磁的垂直不关心）两个三维向量。
机体坐标系：以下简称机体，上面有陀螺、加计、电子罗盘传感器，三个三维向量。
换算公式：以下简称公式，公式就是描述机体姿态的表达方法，一般都是用以地理为基准，从地理换算到机体的公式，有四元数、欧拉角、方向余弦矩阵。
换算公式的系数：以下简称系数，四元数的q0123、欧拉角的ROLL/PITCH/YAW、余弦矩阵的9个数。系数就是描述机体姿态的表达方法的具体数值。

姿态，其实就是公式+系数的组合，一般经常用人容易理解的公式“欧拉角”表示，系数就是横滚xx度俯仰xx度航向xx度。

2、五个数据源：重力、地磁、陀螺、加计、电子罗盘，前两个来自地理，后三个来自机体。

3、陀螺向量：基于机体，也在机体上积分，因为地理上无参考数据源，所以很独立，直接在公式的老系数上积分，得到新系数。
狭义上的捷联惯导算法，就是指这个陀螺积分公式，也分为欧拉角、方向余弦矩阵、四元数，他们的积分算法有增量法、数值积分法（X阶龙格-库塔）等等

4、加计向量、重力向量：加计基于机体，重力基于地理，重力向量（0,0,1g）用公式换算到机体，与机体的加计向量算出误差。理论上应该没有误差，这误差逆向思维一下，其实就是换算公式的系数误差。所以这误差可用于纠正公式的系数（横滚、俯仰），也就是姿态。

5、电子罗盘向量、地磁向量：同上，只不过要砍掉地理上的垂直向量，因为无用。只留下地理水平面上的向量。误差可以用来纠正公式的系数（航向）。

6、就这样，系数不停地被陀螺积分更新，也不停地被误差修正，它和公式所代表的姿态也在不断更新。
如果积分和修正用四元数算法（因为运算量较少、无奇点误差），最后用欧拉角输出控制PID（因为角度比较直观），那就需要有个四元数系数到欧拉角系数的转换。常用的三种公式，它们之间都有转换算法。

 

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// IMU.c
// S.O.H. Madgwick
// 25th September 2010
//=====================================================================================================
// Description:
//
// Quaternion implementation of the 'DCM filter' [Mayhony et al].
//
// User must define 'halfT' as the (sample period / 2), and the filter gains 'Kp' and 'Ki'.
//
// Global variables 'q0', 'q1', 'q2', 'q3' are the quaternion elements representing the estimated
// orientation.  See my report for an overview of the use of quaternions in this application.
//
// User must call 'IMUupdate()' every sample period and parse calibrated gyroscope ('gx', 'gy', 'gz')
// and accelerometer ('ax', 'ay', 'ay') data.  Gyroscope units are radians/second, accelerometer
// units are irrelevant as the vector is normalised.
//
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// Header files

#include "IMU.h"
#include <math.h>

//----------------------------------------------------------------------------------------------------
// Definitions

#define Kp 2.0f                        // proportional gain governs rate of convergence to accelerometer/magnetometer
#define Ki 0.005f                // integral gain governs rate of convergence of gyroscope biases
#define halfT 0.5f                // half the sample period

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// Variable definitions

float q0 = 1, q1 = 0, q2 = 0, q3 = 0;        // quaternion elements representing the estimated orientation
float exInt = 0, eyInt = 0, ezInt = 0;        // scaled integral error

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// Function
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void IMUupdate(float gx, float gy, float gz, float ax, float ay, float az) {
        float norm;
        float vx, vy, vz;
        float ex, ey, ez;         
       
        // normalise the measurements
        norm = sqrt(ax*ax + ay*ay + az*az);      
        ax = ax / norm;
        ay = ay / norm;
        az = az / norm;      
把加计的三维向量转成单位向量。
       

        // estimated direction of gravity
        vx = 2*(q1*q3 - q0*q2);
        vy = 2*(q0*q1 + q2*q3);
        vz = q0*q0 - q1*q1 - q2*q2 + q3*q3;

这是把四元数换算成《方向余弦矩阵》中的第三列的三个元素。
根据余弦矩阵和欧拉角的定义，地理坐标系的重力向量，转到机体坐标系，正好是这三个元素。
所以这里的vx\y\z，其实就是当前的欧拉角（即四元数）的机体坐标参照系上，换算出来的重力单位向量。

        // error is sum of cross product between reference direction of field and direction measured by sensor
        ex = (ay*vz - az*vy);
        ey = (az*vx - ax*vz);
        ez = (ax*vy - ay*vx);

axyz是机体坐标参照系上，加速度计测出来的重力向量，也就是实际测出来的重力向量。
axyz是测量得到的重力向量，vxyz是陀螺积分后的姿态来推算出的重力向量，它们都是机体坐标参照系上的重力向量。
那它们之间的误差向量，就是陀螺积分后的姿态和加计测出来的姿态之间的误差。
向量间的误差，可以用向量叉积（也叫向量外积、叉乘）来表示，exyz就是两个重力向量的叉积。
这个叉积向量仍旧是位于机体坐标系上的，而陀螺积分误差也是在机体坐标系，而且叉积的大小与陀螺积分误差成正比，正好拿来纠正陀螺。（你可以自己拿东西想象一下）由于陀螺是对机体直接积分，所以对陀螺的纠正量会直接体现在对机体坐标系的纠正。

        // integral error scaled integral gain
        exInt = exInt + ex*Ki;
        eyInt = eyInt + ey*Ki;
        ezInt = ezInt + ez*Ki;

        // adjusted gyroscope measurements
        gx = gx + Kp*ex + exInt;
        gy = gy + Kp*ey + eyInt;
        gz = gz + Kp*ez + ezInt;

用叉积误差来做PI修正陀螺零偏

        // integrate quaternion rate and normalise
        q0 = q0 + (-q1*gx - q2*gy - q3*gz)*halfT;
        q1 = q1 + (q0*gx + q2*gz - q3*gy)*halfT;
        q2 = q2 + (q0*gy - q1*gz + q3*gx)*halfT;
        q3 = q3 + (q0*gz + q1*gy - q2*gx)*halfT;  
四元数微分方程

       

        // normalise quaternion
        norm = sqrt(q0*q0 + q1*q1 + q2*q2 + q3*q3);
        q0 = q0 / norm;
        q1 = q1 / norm;
        q2 = q2 / norm;
        q3 = q3 / norm;
四元数规范化
}

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// END OF CODE
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// AHRS.c
// S.O.H. Madgwick
// 25th August 2010
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// Description:
//
// Quaternion implementation of the 'DCM filter' [Mayhony et al].  Incorporates the magnetic distortion
// compensation algorithms from my filter [Madgwick] which eliminates the need for a reference
// direction of flux (bx bz) to be predefined and limits the effect of magnetic distortions to yaw
// axis only.
//
// User must define 'halfT' as the (sample period / 2), and the filter gains 'Kp' and 'Ki'.
//
// Global variables 'q0', 'q1', 'q2', 'q3' are the quaternion elements representing the estimated
// orientation.  See my report for an overview of the use of quaternions in this application.
//
// User must call 'AHRSupdate()' every sample period and parse calibrated gyroscope ('gx', 'gy', 'gz'),
// accelerometer ('ax', 'ay', 'ay') and magnetometer ('mx', 'my', 'mz') data.  Gyroscope units are
// radians/second, accelerometer and magnetometer units are irrelevant as the vector is normalised.
//
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// Header files

#include "AHRS.h"
#include <math.h>

//----------------------------------------------------------------------------------------------------
// Definitions

#define Kp 2.0f                        // proportional gain governs rate of convergence to accelerometer/magnetometer
#define Ki 0.005f                // integral gain governs rate of convergence of gyroscope biases
#define halfT 0.5f                // half the sample period

//---------------------------------------------------------------------------------------------------
// Variable definitions

float q0 = 1, q1 = 0, q2 = 0, q3 = 0;        // quaternion elements representing the estimated orientation
float exInt = 0, eyInt = 0, ezInt = 0;        // scaled integral error

//====================================================================================================
// Function
//====================================================================================================

void AHRSupdate(float gx, float gy, float gz, float ax, float ay, float az, float mx, float my, float mz) {
        float norm;
        float hx, hy, hz, bx, bz;
        float vx, vy, vz, wx, wy, wz;
        float ex, ey, ez;

        // auxiliary variables to reduce number of repeated operations
        float q0q0 = q0*q0;
        float q0q1 = q0*q1;
        float q0q2 = q0*q2;
        float q0q3 = q0*q3;
        float q1q1 = q1*q1;
        float q1q2 = q1*q2;
        float q1q3 = q1*q3;
        float q2q2 = q2*q2;   
        float q2q3 = q2*q3;
        float q3q3 = q3*q3;          
        
        // normalise the measurements
        norm = sqrt(ax*ax + ay*ay + az*az);       
        ax = ax / norm;
        ay = ay / norm;
        az = az / norm;
        norm = sqrt(mx*mx + my*my + mz*mz);          
        mx = mx / norm;
        my = my / norm;
        mz = mz / norm;         
        
从机体坐标系的电子罗盘测到的矢量转成地理坐标系下的磁场矢量hxyz（测量值）
        // compute reference direction of flux
        hx = 2*mx*(0.5 - q2q2 - q3q3) + 2*my*(q1q2 - q0q3) + 2*mz*(q1q3 + q0q2);
        hy = 2*mx*(q1q2 + q0q3) + 2*my*(0.5 - q1q1 - q3q3) + 2*mz*(q2q3 - q0q1);
        hz = 2*mx*(q1q3 - q0q2) + 2*my*(q2q3 + q0q1) + 2*mz*(0.5 - q1q1 - q2q2);         

计算地理坐标系下的磁场矢量bxyz（参考值）。
因为地理地磁水平夹角，我们已知是0度（抛去磁偏角的因素，固定向北），所以by=0，bx=某值
但地理参考地磁矢量在垂直面上也有分量bz，地球上每个地方都是不一样的。
我们无法得知，也就无法用来融合（有更适合做垂直方向修正融合的加速度计），所以直接从测量值hz上复制过来，bz=hz。
磁场水平分量，参考值和测量值的大小应该是一致的(bx*bx) + (by*by)) = ((hx*hx) + (hy*hy))。
因为by=0，所以就简化成(bx*bx)  = ((hx*hx) + (hy*hy))。可算出bx。
        bx = sqrt((hx*hx) + (hy*hy));
        bz = hz;        
    
        // estimated direction of gravity and flux (v and w)
        vx = 2*(q1q3 - q0q2);
        vy = 2*(q0q1 + q2q3);
        vz = q0q0 - q1q1 - q2q2 + q3q3;

我们把地理坐标系上的磁场矢量bxyz，转到机体上来wxyz。
因为by=0，所以所有涉及到by的部分都被省略了。
类似上面重力vxyz的推算，因为重力g的gz=1，gx=gy=0，所以上面涉及到gxgy的部分也被省略了
你可以看看两个公式：wxyz的公式，把bx换成gx（0），把bz换成gz（1），就变成了vxyz的公式了（其中q0q0+q1q1+q2q2+q3q3=1）。
        wx = 2*bx*(0.5 - q2q2 - q3q3) + 2*bz*(q1q3 - q0q2);
        wy = 2*bx*(q1q2 - q0q3) + 2*bz*(q0q1 + q2q3);
        wz = 2*bx*(q0q2 + q1q3) + 2*bz*(0.5 - q1q1 - q2q2);  
      
现在把加速度的测量矢量和参考矢量做叉积，把磁场的测量矢量和参考矢量也做叉积。都拿来来修正陀螺。
        // error is sum of cross product between reference direction of fields and direction measured by sensors
        ex = (ay*vz - az*vy) + (my*wz - mz*wy);
        ey = (az*vx - ax*vz) + (mz*wx - mx*wz);
        ez = (ax*vy - ay*vx) + (mx*wy - my*wx);
        
        // integral error scaled integral gain
        exInt = exInt + ex*Ki;
        eyInt = eyInt + ey*Ki;
        ezInt = ezInt + ez*Ki;
        
        // adjusted gyroscope measurements
        gx = gx + Kp*ex + exInt;
        gy = gy + Kp*ey + eyInt;
        gz = gz + Kp*ez + ezInt;
        
        // integrate quaternion rate and normalise
        q0 = q0 + (-q1*gx - q2*gy - q3*gz)*halfT;
        q1 = q1 + (q0*gx + q2*gz - q3*gy)*halfT;
        q2 = q2 + (q0*gy - q1*gz + q3*gx)*halfT;
        q3 = q3 + (q0*gz + q1*gy - q2*gx)*halfT;  
        
        // normalise quaternion
        norm = sqrt(q0*q0 + q1*q1 + q2*q2 + q3*q3);
        q0 = q0 / norm;
        q1 = q1 / norm;
        q2 = q2 / norm;
        q3 = q3 / norm;
}

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// END OF CODE
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