【高等数学基础知识篇】——不定积分

一、不定积分的概念与基本性质

1.1 原函数与不定积分的基本概念

划重点

• 连续函数一定存在原函数，反之不对。
• 有第一类间断点的函数一定不存在原函数，但有第二肋间断点的函数可能有原函数。
• 若f(x)有原函数，则它一定有无数个原函数，且任意两个原函数之间相差常数。
• 偶函数的原函数不一定是奇函数，奇函数的原函数一定是偶函数。

1.2 不定积分的基本性质

• $\int [f(x)\pm g(x)]dx$ = $\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$
• $\int kf(x)dx$ = k$\int f(x)dx$（k ≠ 0）

二、不定积分基本公式与积分法

2.1 不定积分基本公式

不定积分	原函数
$\int kdx$	kx + C
$\int x{}^{a}dx$	$\frac{1}{a+1}x{}^{a+1}$ + C
$\int \frac{1}{x}dx$	ln|x| + C（x ≠ 0）
$\int a{}^{x}dx$	$\frac{a{}^x}{lna}$ + C（a > 0，a ≠ 1）
$\int e{}^{x}dx$	ex + C
$\int sinxdx$	-cos x + C
$\int cosxdx$	sin x + C
$\int tantxdx$	-ln|cos x| + C
$\int cotxdx$	ln|sin x| + C
$\int secxdx$	ln|sec x + tan x| + C
$\int cscxdx$	ln|csc x - cot x| + C
$\int sec{}^{2}xdx$	tan x + C
$\int csc{}^{2}xdx$	-cot x + C
$\int secxtanxdx$	sec x + C
$\int cscxcotxdx$	-csc x + C
$\int \frac{dx}{\sqrt[]{1-x{}^2}}$	arcsin x + C
$\int \frac{dx}{\sqrt[]{a{}^2-x{}^2}}$	arcsin $\frac{x}{a}$ + C（a > 0）
$\int \frac{dx}{1+x{}^2}$	arctan x + C
$\int \frac{dx}{a{}^2+x{}^2}$	$\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}$ + C（a ≠ 0）
$\int \frac{dx}{x{}^2-a{}^2}$	$\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|$ + C（a ≠ 0）
$\int \frac{dx}{\sqrt[]{x{}^2+a{}^2}}$	ln(x + $\sqrt[]{x{}^2+a{}^2}$) + C
$\int \frac{dx}{\sqrt[]{x{}^2-a{}^2}}$	ln|x + $\sqrt[]{x{}^2-a{}^2}$\ + C
$\int \sqrt[]{a{}^2-x{}^2}dx$	$\frac{a{}^2}{2}arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt[]{a{}^2-x{}^2}$ + C（a > 0）

2.2 不定积分的积分法

2.2.1 换元积分法

第一类换元积分法（凑微分法）

设f(u)的原函数为F(u)，且u = φ(x)为可导函数，则
$\int f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)dx$ = $\int f[\phi (x)]d[\phi (x)]$ = $\int f(u)du$ = F(u) + C = F[φ(x)] + C。

以下凑微分法需要熟练掌握

原积分	凑微分法
$\int f(ax{}^n+b)x{}^{n-1}dx$	$\frac{1}{na}\int f(ax{}^n+b)d(ax{}^n+b)$
$\int \frac{f(\sqrt[]{x})}{2\sqrt[]{x}}dx$	$\int f(\sqrt[]{x})d\sqrt[]{x}$
$\int \frac{1}{x{}^2}f(\frac{1}{x})dx$	-$\int f(\frac{1}{x})d(\frac{1}{x})$
$\int e{}^{x}f(e{}^x)dx$	$\int f(e{}^x)d(e{}^x)$
$\int \frac{f(lnx)}{x}dx$	$\int f(lnx)d(lnx)$
$\int (1-\frac{1}{x{}^2})f(x+\frac{1}{x})dx$	$\int f(x+\frac{1}{x})d(x+\frac{1}{x})$
$\int (1+\frac{1}{x{}^2})f(x-\frac{1}{x})dx$	$\int f(x-\frac{1}{x})d(x-\frac{1}{x})$
$\int (1+lnx)f(xlnx)dx$	$\int f(xlnx)d(xlnx)$
$\int f(sinx)cosxdx$	$\int f(sinx)d(sinx)$
$\int f(cosx)sinxdx$	-$\int f(cosx)d(cosx)$
$\int f(tanx)sec{}^{2}xdx$	$\int f(tanx)d(tanx)$
$\int f(cotx)csc{}^{2}xdx$	-$\int f(cotx)d(cotx)$
$\int f(secx)secxtanxdx$	$\int f(secx)d(secx)$
$\int f(cscx)cscxcotxdx$	-$\int f(cscx)d(cscx)$
$\int \frac{f(arcsinx)}{\sqrt[]{1-x{}^2}}dx$	$\int f(arcsinx)d(arcsinx)$
$\int \frac{f(arctanx)}{1+x{}^2}dx$	$\int f(arctanx)d(arctanx)$

第二类换元积分法

设φ(t)单调可导且φ’(t) ≠ 0，f(x)有原函数，则
$\int f(x)dx$ = $\int f[\phi (t)]{\phi }^{\prime }(t)dt$ = $\int g(t)dt$ = G(t) + C = G[$\phi {}^{-1}$(x)] + C。

当被积函数含平方和或平方差是，一般采用三角代换，具体换元方法为

表达式	替换式
$a{}^2-x{}^2$	令x = asin t，则$a{}^2-x{}^2=a{}^{2}cos{}^{2}t$
$x{}^2+a{}^2$	令x = atan t，则$x{}^2+a{}^2=a{}^{2}sec{}^{2}t$
$x{}^2-a{}^2$	令x = asec t，则$x{}^2-a{}^2=a{}^{2}tan{}^{2}t$

倒数变换x = $\frac{1}{t}$

遇到$\sqrt[]{x}$，想办法转换称d($\sqrt[]{x}$)。

2.2.2 分部积分法

设u(x)，v(x)连续可导，则分布积分公式为$\int udv$ = uv - $\int vdu$。

以下六种情况使用分部积分公式

• $\int x{}^{n}e{}^{x}dx$，即被积函数为幂函数与指数函数之积。
• $\int x{}^{n}lnxdx$，即被积函数为幂函数与指数函数之积。
• 被积函数为幂函数与三角函数之积。
• 被积函数为幂函数与反三角函数之积。
• 被积函数为指数函数与三角函数之积。
• 被积函数为$sec{}^{n}x$或$csc{}^{n}x$（n为奇数）。

三、两类重要函数的不定积分——有理函数与三角有理函数

3.1 有理函数的积分

有理函数的概念

设R(x) = $\frac{P(x)}{Q(x)}$，其中P(x)，Q(x)为多项式，称R(x)为有理函数。当分子多项式P(x)的次数小于分母多项式Q(x)的次数时，称R(x)为真分式。否则，称为假分式。

有理函数的积分法

• 当R(x)为真分式时，将R(x)拆分成部分和的形式。
• 当R(x)为假分式时，将R(x)拆成多项式与真分式之和，再将真分式拆成部分和的形式。

本题需要明确有理函数的拆分方法。拆分时需要关注x的幂次以及是单根还是重根。以本题为例，说明以下拆分方法。

关注x的幂次

例如，$\frac{3x+2}{x(1+x{}^2)}$，可以拆分成$\frac{A}{x}$ + $\frac{Bx+C}{1+x{}^2}$。

关注是单根还是重根

例如，$\frac{x{}^3+3}{x{}^2(1+x)}$，可以拆分成$\frac{A}{x}$ + $\frac{B}{x{}^2}$ + $\frac{C}{1+x}$。

其实还有复数根的情况，这里没有遇到，暂不做介绍，后续遇到会进行补充。

3.2 三角有理函数的不定积分

三角有理函数的概念

设R(x,y)为二元有理函数，称R(sin x,cos x)为三角有理函数。