对卷积的一点具象化理解

前言

        卷积的公式一般被表示为下式：

        对新手来说完全看不懂这是干什么，这个问题需要结合卷积的应用场景来说。

原理

        卷积比较广泛的应用是在信号与系统中，所以有些公式的定义会按照信息流的习惯。假设存在一串信号g(x)经过一个响应h(x)时他的响应会累加起来进行输出。其中：

        使用信息流的形式体现可以表示为下图：在时刻0时(第1个输出），信号和h(x)还没有进入响应函数g(x)模块中，因此输出结果为：（上下相遇时两信号相乘，输出时将个信号相加）

        在时刻等于1(第2组）时，信号A与a出现交集，因此此时输出结果为：

(以下省略信号与0相乘的部分）

        在时刻等于2(第3组）时，信号A与a出现交集，因此此时输出结果为：

        以此类推在时刻等于7(第8组）时：

        这个时候再来观察这个函数该怎么表示，g(x)在时间上是正常的顺序a b c d e f g，但是对于h(x)，首先起作用的是A，也就是说生成信号的顺序应该是A B C D E F G，所以将两个函数表示为以下公式：

        但是这个系统的输出怎么用函数表示呢？首先需要引入时间 t 的概念，因为不同时刻的结果不同，系统最终输出的结果是和时间相关的。这时只关注时刻7(第8组）的情况。输出的结果表示为函数其实是：

                ​​​​​​​                        

        又可以写作下式：

        ​​​​​​​        ​​​​​​​                        

        用求和符号表示为：

        写成连续函数即：

        可以看出对信号有个时间上的倒序，这是因为在产生信号时坐标轴上最右侧的被我理解为是最后出现的，而在信号与系统中却是最早出现的。为了与传统数学作统一，做了这种调整。

个人的理解

        应该就是因为有个时间倒序的问题才会把这种积分叫做卷积吧，不然就可以叫做正常的积分了，没必要重新定义一个概念。