堆的概念和结构以及堆排序

前言

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结 构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统 虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

堆的概念及结构

**堆（数据结构）**在逻辑上是一个完全二叉树而在物理上是一个数组。

堆是一种顺序存储结构（采用数组方式存储），仅仅是利用完全二叉树的顺序结构的特点进行分析。
已知二叉树根结点的下标是root,那么它左孩子的下标left=2*root+1，右孩子的下标right=2*root+2。
已知孩子结点的下标（不区分左右)为child，那么双亲的下标为（child-1)/2。

将满足根的值小于等于所有子树结点的值，称为小堆；根的值大于等于所有子树结点的值称为大堆。

堆的实现

我们实现堆还是要用三个文件，来让堆的代码看起来更加的简单易懂，
test.c，用来让测试堆的代码
Heap.c，我们些堆的函数
Heap.h，包括堆函数的头文件

(1)创建一个堆

这就是用一个结构体将这些内容，包括起来。
还是很简单的就不多介绍了

typedef int HPDatatype;
typedef struct Heap
{HPDatatype* a;int sz;int capacity;
}HP;

(2).堆的初始化

//堆的初始化
void HeapInit(HP* php)
{assert(php);php->a = NULL;php->sz = 0;php->capacity = 0;
}

(2)堆的销毁

我们用malloc申请了空间，我们就要销毁。

//堆的销毁
void HeapDestory(HP* php)
{assert(php);free(php->a);php->a = NULL;php->sz = 0;php->capacity = 0;
}

(3).打印堆

//打印堆
void HeapPrint(HP* php)
{assert(php);for (int i = 0; i < php->sz; i++){printf("%d ", php->a[i]);}printf("\n");
}

(4)堆的添加元素

我们堆添加元素的思路，就是在数组的最后一位添加元素，然后看他的父节点是不是比他大或者小(创建大堆和创建小堆)，如果是大堆，父节点比他小，就交换，然后知道最后交换到头结点。

这时我们就用到一种算法，叫做向上调整算法。

向上调整算法

//向上调整函数
void AdjustUp(HPDatatype* a,int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}

交换函数

j进行数据的交换，因为后面用的会很多，就做成一个函数

//交换函数
void Swap(HPDatatype* p1,HPDatatype* p2)
{int tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}

添加堆元素的代码

//堆的添加元素
void HeapPush(HP* php, HPDatatype x)
{assert(php);//扩容if (php->sz == php->capacity){int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;HPDatatype* tmp = (HPDatatype*)realloc(php->a, sizeof(HPDatatype) * newcapacity);if (tmp == NULL){perror("realloc");exit(-1);}php->a = tmp;php->capacity = newcapacity;}php->a[php->sz] = x;php->sz++;//向上调整函数AdjustUp(php->a,php->sz-1);
}

(5)删除堆顶的元素

我们堆删除元素，都是删除堆顶的元素，那么怎么删除元素了，
我们数组，最好删除的元素就是尾删，所以我们将第一个 元素和最后一个元素交换，然后我们sz--.

然后我们要保持他是一个堆，用到一个向下调整算法。

这个算法就是将最上面的元素，和他的最大的子节点进行交换，然后在进行到最后。

向下调整算法

void AdjustDown(HPDatatype* a, int n, int  parent)
{//选大的子节点进行交换int child = parent * 2 + 1;while (child < n){//确认child指向大的孩子if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child]){child++;}//孩子大于父亲，就进行交换，继续向下调整//孩子小于父亲，则调整结束if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}

删除元素的框架

//删除堆顶的数据，并保持他还是一个堆、
void HeapPop(HP* php)
{assert(php);assert(php->sz);//第一个和最后一个交换然后尾删Swap(&php->a[0], &php->a[php->sz - 1]);php->sz--;AdjustDown(php->a, php->sz, 0);
}

(6)找堆顶的元素

//找堆顶的元素
HPDatatype* HeapTop(HP* php)
{assert(php);assert(php->sz > 0);return php->a[0];
}

(7)查看堆的大小

//查看堆的大小
int HeapSize(HP* php)
{assert(php);return php->sz;
}

(8)判断堆是否为空

//判断堆是否为空
bool HeapEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->sz==0;
}

堆的构建

我们堆的构建用的算法是我们在删除元素的时候向下调整算法。

在排序之前，我们需要做一个准备工作，将数组放进去。看下面代码。

//堆的构建
void HeapCreate(HP* php, HPDatatype* a, int n)
{assert(php);//创建空间，将数组的的内容拷贝到我们的堆中，然后zaiphp->a = (HPDatatype*)malloc( sizeof(HPDatatype) * n);if (php->a == NULL){perror("realloc");exit(-1);}memcpy(php->a, a, sizeof(HPDatatype)*n);php->sz = php->capacity = n;}

经过上面的操作，我们将一个无序的数组放进去了，但是现在数组的内容并不是一个堆，现在我们用两种算法将这个数组变成堆。

向下调整的建堆算法

思路就是：我们想将最后一个叶子结点和他的父节点，先构成一个堆，然后我们再将父节点的上一个结点的子节点，将这个构建一个堆，知道最后到根结点。看下面我画的解释图。

向下调整的建堆算法构建一个堆的代码

n表示这个数组有几个元素，而i表示我们的最后一个结点的父节点，然后就可以依次向下排序了，

//建堆算法for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){AdjustDown(php->a, n, i);}

堆排序

我们想要堆排序，首先我们就要建堆，有了堆我们才可以排序，所以我们怎么将一个数组变成一个堆呢？
首先有两种方法，
1.第一种就是用插入的思想，将每一个数一个一个插进去，这时就要用我们的向上调整算法。
2.第二种方法就是用我们的上面用向下调整算法的思想建堆

向上调整算法建堆

其实这个思想就是将我们的每一个数插入堆的方法，肯定大家又点不理解，下来画个图，大家就理解了

<1>向上调整算法建堆代码

就是如此的简单，将每个数遍历遍，依次使用建堆算法就ok了。

	//向上调整建堆for (int i = 1; i < n; i++){AdjustUp(a, i);}

<2>向上调整建堆的时间复杂度

我们向上调整算法将每个数遍历一遍，然后将每个数的都要进行向上调整算法，我们就可以通过计算算,高度为h，
第一层不需要调整，
第二层开始调整，第二层有$2^1$个元素，每个再向上调整中进行了一次调整。
第三层有$2^2$,每个数最多调整2次
依次类推，在第n层，有$2^{h-1}$个元素，每个元素换h-1次。

所以可以算出
$$f(h)=2^1\ast 1+2^2\ast 2+2^3\ast 3\dots \dots 2^{h-1}\ast (h-1)$$
然后我们又知道N和h的关系，$N=2^h-1$

算所有的太复杂，所以我们直接算最后一个，因为最后一层的结点最多，而且调整次数最多，可以代表整个的时间复杂度将h换成N。
$$F(N)\approx ((N+1)(lo{g}_2(N+1)-1))/2$$
所以我们可以算出他的时间复杂对是$O(N\ast lo{g}_2(N))$

向下调整算法建堆

我们在堆的构建用的就是向下调整算法，思路和代码都讲了，但是我们为什们用向下调整算法，等我们算完下面的时间复杂度就知道。

<1>向下调整算法的时间复杂度

有的同学，看都不看，看到了两个循环，直接就说他的时间复杂度是O($N^2$),这样都是打错特错了

首先分析一下，因为我们是从我们的最后一个数的父节点才开始算，我们的最后的叶子结点就不进行计算，而且我们想一下，我们的最多的结点不算，这种算法，一看这个时间复杂度就可以。
所以我们的最后一层没有进行堆排，
在我们的倒数第二层就进行一次调整
在倒数第三层进行2次调整
所以依次类推，第一层就进行h-1次调整

所以就可以计算
$$F(h)=2^{h-2}\ast 1+2^{h-3}\ast 2\dots \dots 2^2\ast (h-2)+2^1\ast (h-1)$$

所以我们可以看出这是一个等差数列*等比数列，用一个错位相减法我们就可以算出$F(h)=2^h-1-h$
我们又知道$N=2^h-1$，将h换成N就可以得到。
所以可以得出$F(h)=N-lo{g}_2(N+1)$
所以他的时间复杂度就是O(N).

比较两种算法

我们比较算法就是通过时间复杂度和空间复杂度进行比较，我们很容易就比较出来了，明显是向下调整算法好。他的时间复杂度底。

其实这个我们也可以通过画思路图就可以看明白了，
在向上调整算法中，我们的最后的结点最多，并且向上进行最多次，
而在向下调整算法中，我们最后一层的结点都不进行排序，并且在倒数第二层最多的结点才进行一次，而到了最高层最少的结点进行最多次。

如果我们要升序，建大堆还是建小堆

首先先说答案：建大堆。
思路：为什们建大堆，我们大堆的头就是最大的数，这是无容置疑的，然后我们将最大的数和堆最后一个数进行交换，我们的再用向下调整算法调整堆不包括最后一个最大的数，(利用我们堆的删除的思路)知道我们的堆就剩下一个。

	for (int i = 0; i < n; i++){Swap(&a[0], &a[n - 1 - i]);AdjustDown(a, n - 1 -i, 0);}

这就是我们的堆排序

堆排序的时间复杂度

先说答案$O(N\ast lo{g}_2(N))$

可以类比一下，我们的向上调整算法，我们的最后一层是最多的一层，同时进行向下调整的次数也是最多的，所以我们直接算最后一层的就可以了，
而最后一层的个数是$N=2^{h-1}$，向下调整算法的时间复杂度为$O(N)$,
最后看$F(h)=2^{h-1}\ast (h-1)$次然后进行换算一下，
$O(N\ast lo{g}_2(N))$

Top-K问题

什们是Top-K问题？

即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。

解决方法

1. 用数据集合中前K个元素来建堆
   前k个最大的元素，则建小堆,
   前k个最小的元素，则建大堆

2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，
   不满足则替换堆顶元素将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，
   堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素

时间复杂度：$K+(N-K)\ast logk$=>$O(N\ast logk)$
空间复杂度：O(K)