为什么曲面函数的偏导数可以表示其曲面的法向量？

为什么曲面函数的偏导数可以表示其曲面的法向量？

引用资料：
1.知乎@shinbade：曲面的三个偏导数为什么能表示法向量？
2.Geogebra@羅驥韡 (Pegasus Roe)：偏導數、切平面、梯度

曲面$F(x,y,z)=0$，曲面上一点A$(x,y,z)$，在该点附近取另一点B$(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)$，由于点B也在曲面上，故$F(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)=0$，
将上式进行一阶泰勒展开：（一阶展开目的是用切平面上的点近似曲面上的点）
$$\begin{gathered} F(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)=F(x,y,z)+F_x^{\prime }\Delta x+F_y^{\prime }\Delta y+F_z^{\prime }\Delta z=0 \\ \because F(x,y,z)=0 \\ \therefore F_x^{\prime }\Delta x+F_y^{\prime }\Delta y+F_z^{\prime }\Delta z=0 \\ (F_x^{\prime },F_y^{\prime },F_z^{\prime })\cdot (\Delta x,\Delta y,\Delta z)=0 \end{gathered}$$
向量$(\Delta x,\Delta y,\Delta z)$与向量$(F_x^{\prime },F_y^{\prime },F_z^{\prime })$内积为0，说明两向量垂直，又由于向量$(\Delta x,\Delta y,\Delta z)$在切平面上（严格来说是割平面，因为还没有取极限），故向量$(F_x^{\prime },F_y^{\prime },F_z^{\prime })$垂直于切平面，也就可以用其来表示曲面的法向量。
备注：切平面上点代替曲面上点（以直代曲），这个方面的理解详见本人博客：如何理解二元函数的可导与可微？
由于在极限过程中，切平面上点无限接近曲面上的点，所以近似将向量$(\Delta x,\Delta y,\Delta z)$看作在切片面上。