【机组】计算机系统组成课程笔记 第二章 计算机中的信息表示

2.1 无符号数和有符号数

2.1.1 无符号数

没有符号的数，其实就是非负数。在计算机中用字节码表示，目前最常用的是八位和十六位的。

2.1.2 有符号数

将正负符号数字化，0代表 + ，1代表 - ，并把代表符号的数字放在有效数字前，就组成了有符号数。

1. 机器数和真值

我们接下来要用到的真值都指的是带符号的二进制数。

机器数是相对于真值而言的，下面要讲的原码、补码、反码和移码都属于机器数。

2. 原码表示法

原码，顾名思义，是机器数最原本的表示方法，原码包括两个部分，符号位和数值位，符号位用0和1代表这个数的正负，数值位就是真值的绝对值。

为了区别用原码表示的整数和小数，整数的符号位和数值位用逗号隔开，小数的则用小数点隔开。

原码的优点：表示简单，易于和真值转换。

原码的定义 -- 整数

原码的定义 -- 小数

原码可以表示的小数范围在-1和1之间，其他带小数的数可以用整数+小数这样的组合来表示。

例题

注意，在由原码求真值的题目中，若结果为正，那也得加一个 + 号！

3. 补码表示法

补的概念

取模为12的时候，+2等价于-10，-4等价于+8，+3等价于+15等价于+27。

在上面的例子里，-10的补数为+2，-4的补数为+8。并且正数的补数是其本身。

由此可以知道，只要确定了模，就可以为任何一个负数找到与其对应的正数，也就是补数，这样就方便进行运算，在对含有负数的式子进行加法运算时，可以先将负数取补数，最后取模即可。

补的结论

补码的定义 -- 整数

补码的定义 -- 小数

用补码表示负的小数时，因为符号位要为1，所以应该模2，也就是用2减去真值，这样得到的结果里，符号位一定为1，数值位即为真值的补数。

要注意，2也得用二进制来表示！

变形补码 -- 双符号位补码

求补码的快捷方式

对正数来说，补码就是符号位加上真值本身，简单易求；

对负数来说，求补码则有快捷方式：

总而言之，就是符号位不变，数值位取反，末尾加一。

4. 反码表示法

反码通常是基于上面原码与补码转换的快捷方式，所需要的中间过渡。

由于正数不需要快捷方式，所以反码还是和原码补码一样，只有符号位和真值不同。

只有负数需要将全体数值位转换为相反的数。

反码的定义 -- 整数

反码的定义 -- 小数

例题

5. 移码表示法

用原码和补码时很难一眼比出两个数的大小，这时候就需要使用移码了。

移码的定义

移码的特点

同一个真值的移码和补码只差一个符号位。

作业题知识点补充

1. 分数转换为二进制数

以 29/128 为例：

第一步

把分子和分母都转换为二进制，要表示为2的多少次。
那么分子表示为：2^4+2^3+2^2+2^0
那么分母呢：2^7
继续将他们写成分数形式：（2^4+2^3+2^2+2^0）/2^7。

接下来计算就好了，结果为：2^-3+2^-4+2^-5+2^-7。

第二步

讲一个小知识点：对于二进制数左移是放大2倍，右移是缩小2倍。
那么对于二进制1，我们右移得到0.1，缩小2倍。所以0.1代表1/2，即2-1。同理，0.01就是1/4，即2-2，以此类推。

有了这个基础，再看看上面的式子，不就是0.001+0.0001+0.000 01+0.000 0001。
用二进制加法计算出最后结果，即0.001 1101。

2. 无原码的特殊情况

补码为1.0000的真值为-1，但是没有原码，因为小数原码的范围如下：

可知，小数1和-1都没有原码。

补码为1，0000的真值为-16，但也没有原码，因为整数原码的范围如下：

当数值位有四位时，原码的取值只能小于+16。

3. 十六进制转换为二进制

每个十六进制数都代表四位二进制数，所以直接按位置转换即可。

0 ~ 9 都可以当成十进制数化为二进制数，只是不足的要补足至四位，而剩下的则如下表所示：

十六进制	十进制	二进制
A	10	1010
B	11	1011
C	12	1100
D	13	1101
E	14	1110
F	15	1111

2.2 数的定点表示和浮点表示

2.1.1 定点表示

2.1.2 浮点表示

规格化数：浮点数的尾数以1开头，例如0.110101。

1. 浮点数的表示形式

2. 浮点数的表示范围

3. 浮点数的规范化

2.2.3 定点数和浮点数的比较

• 当浮点机与定点机中的数其位数相同时，浮点数的表示范围比定点数大得多。（浮点机和定点记中的数都表示为机器数）
• 当浮点数为规格化数时，其精度远高于定点数。
• 浮点数运算分阶码和尾数部分，而且运算结果要求规格化。
• 在溢出的判断方法上，浮点数是对规格化的阶码进行判断，而定点数是对数值本身进行判断。

2.2.4 举例

机器零

• 当浮点数尾数为0时，不论其阶码是多少，按机器零处理；
• 当浮点数阶码等于或小于它能表示的最小数时，不论尾数是多少，按机器零处理

2.2.5 IEEE 754 标准

S：数符号，表示浮点数的正负，0为正，1为负；

阶码（含阶符）：实际上是偏移阶码，求得阶码需要用原来的阶数加上不同长度实数对应的偏移量

偏移量：短实数（32位）127，长实数（64）1023

尾数：要先化为“1.xx……xx”的形式，再把最高位的“1”省略，只列出小数点后面的数，不足23位的要用0补齐

2.3 定点运算

2.3.1 移位运算

1. 移位的意义

定点移位，就是小数点的绝对位置不动，其余的数字全部向左或向右移动；

左移时，绝对值增大；右移时，绝对值减小。

在计算机中整移位运算很有用，让移位和加减配合就可以实现乘除运算。

算术移位：有符号数的移位，数值位在移位，符号位不变。

逻辑移位：无符号数的移位。

2. 算术移位规则

机器数移位后的空位添补规则

要注意，在算术移位中，移位前后符号位不变。

而逻辑移位中，左移时低位添0，高位丢弃；右移时高位添0，低位丢弃。

2.3.2 加减法运算

1. 补码加减运算公式