大厂真题：【DP】米哈游2023秋招-米小游与魔法少女-奇运

题目描述与示例

题目描述

米小游都快保底了还没抽到希儿，好生气哦！只能打会活动再拿点水晶。

米小游和世界第一可爱的魔法少女 TeRiRi 正在打 BOSS，BOSS 的血量为h，当 BOSS 血量小于等于0时，BOSS 死亡。TeRiRi 有一套牌，在一轮中，她会按顺序一张一张的将卡牌打出，套牌中有两种卡牌：

1. 时来运转：获得x个幸运币。
2. 幸运一掷：造成x点伤害，并投掷所有幸运币，造成等于所有幸运币掷出的点数之和的伤害。

幸运币可以等概率的投掷出1∼6之间的点数。 （所以为什么不叫骰子呢？）

米小游想知道，TeRiRi 的套牌在一轮内击杀 BOSS 的概率。

输入描述

第一行输入两个整数n (1≤n≤100)，h (1≤h≤10^9)，分别表示卡牌张数和 BOSS 血量。

接下来n行，每行首先输入两个整数t (1≤t≤2)，x (1≤x≤10)，t为1表示卡牌为时来运转，t为2表示卡牌为幸运一掷。

输出描述

输出一个实数表示答案，你的答案与标准答案的误差不超过10^−4都被认为是正确答案。

示例一

输入

2 5
1 1
2 1

输出

0.5

说明

幸运币掷出4及以上的概率为0.5，再加上1点固定伤害，即可击杀BOSS。

示例二

输入

3 1145
1 4
1 9
1 9

输出

0

说明

无论如何都无法击杀BOSS。

解题思路

对于固定顺序的套牌，投掷幸运币的数量是固定的。这里要注意的是，由于时来运转之后必须接上幸运一掷才能将幸运币打出造成伤害，所以如果最后的若干张连续的卡牌是时来运转，这些最后获得的幸运币也是无法造成伤害的。

我们将造成的伤害分为两部分，固定伤害和随机伤害，前者为打出y个幸运币必定造成的z点伤害，后者为y个幸运币掷出点数和的伤害。

假设整套卡牌一共投掷了y个幸运币，造成的固定伤害为z点，如果想要击杀BOSS，随机伤害必须至少达到h-z点才可以。当然，如果h-z≤0，则必定可以击杀BOSS。

问题就转换为，投掷出y个幸运币，点数总和超过h-z的概率是多少？

由于每一个幸运币都是独立的，在掷出第i个幸运币时，其结果是从掷出第i-1个幸运币时得到的各种结果转移得到的，因此我们可以使用动态规划来解决该问题。我们考虑动态规划三部曲：

1. dp数组的含义是什么？

• dp数组是一个长度为(y+1)×(h-z+1)的二维矩阵，dp[i][j]表示掷出第i个幸运币时，有多大的概率可以取得和为j的结果，即造成和为j的伤害。
• 特别地，由于只需要判断伤害之和大于等于h-z的概率，而不用关心具体的分布，dp数组内层的第h-z个元素，即dp[i][h-z]，表示求和大于等于h-z的概率。

1. 动态转移方程是什么？

• 由于幸运币掷出点数1-6是等概率的，故对于某一个特定的dp[i-1][j]，在掷出第i个幸运币时，dp[i-1][j]的结果将等概率地转换到dp[i][j+1]，dp[i][j+2]，dp[i][j+3]，dp[i][j+4]，dp[i][j+5]，dp[i][j+6]，即每一个状态都可以取得1/6的转移。
• 另外，如果j+k之后超过了h-z，则将直接获得(7-k)/6 * dp[i-1][j]的概率。

for i in range(1, y+1):for j in range(i-1, h-z+1):for k in range(1, 7):if j + k >= h - z:dp[i][h-z] += (7-k)/6 * dp[i-1][j]breakelse:dp[i][j+k] += 1/6 * dp[i-1][j]

1. dp数组如何初始化？

• 考虑不投掷任何幸运币的情况，那么只有一种情况，也就是在投掷0个幸运币的时候获得求和为0的概率为恒定1。故初始化dp[0][0] = 1

dp = [[0] * (h-z+1) for _ in range(y+1)]
dp[0][0] = 1

考虑完上述问题后，代码其实呼之欲出了。

代码

Python

# 题目：【DP】米哈游2023秋招-米小游与魔法少女-奇运
# 作者：闭着眼睛学数理化
# 算法：DP
# 代码有看不懂的地方请直接在群上提问y = 0       # 掷出幸运币的总个数
z = 0       # 全部造成的固定伤害
x_temp = 0  # 时来运转获得的幸运币n, h = map(int, input().split())
for _ in range(n):t, x = map(int, input().split())# 时来运转if t == 1:x_temp += x# 幸运一掷else:y += x_tempx_temp = 0z += x# 如果固定伤害已经大于h，直接输出1
if h - z <= 0:print(1)
# 否则才需要进行dp过程
else:# 初始化dp数组# dp[i][j]表示掷出了i个幸运币时，# 有多大的概率可以取得和为j的结果，即造成和为j的伤害。dp = [[0] * (h-z+1) for _ in range(y+1)]dp[0][0] = 1# 考虑每一个幸运币for i in range(1, y+1):# 对于每一个幸运币考虑打出i-1个硬币后的# 每一种求和结果的概率# 注意，由于已经掷出了i-1个幸运币# 那么求和结果至少为i-1，因为每个幸运币点数至少为1点# 因此j遍历时起点可以从i-1开始for j in range(i-1, h-z+1):# 如果求和j尚未在上一次投掷中取得，# 则可以直接考虑下一个幸运币if dp[i-1][j] == 0:break# 遍历掷出六种不同点数k的情况，# 当前点数则可以取得j+kfor k in range(1, 7):# 如果当前点数j+k超过了击杀所需点数# 则更新dp[i][h-z]# 为dp[i-1][j]对应的概率乘以(7-k)/6if j + k >= h - z:dp[i][h-z] += (7-k)/6 * dp[i-1][j]break# 如果当前点数j+k尚未超过击杀所需点数# 则其概率由dp[i-1][j]六等分后转移得到else:dp[i][j+k] += 1/6 * dp[i-1][j]# 输出最后一行的最后一个元素# 表示打出第y个幸运币后，造成伤害大于等于h-z点的概率print(dp[y][h-z])

Java

import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {int y = 0;            // 掷出幸运币的总个数int z = 0;            // 全部造成的固定伤害int x_temp = 0;       // 时来运转获得的幸运币Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();int h = scanner.nextInt();for (int i = 0; i < n; i++) {int t = scanner.nextInt();int x = scanner.nextInt();// 时来运转if (t == 1) {x_temp += x;}// 幸运一掷else {y += x_temp;x_temp = 0;z += x;}}// 如果固定伤害已经大于h，直接输出1if (h - z < 0) {System.out.println("1");}// 否则才需要进行dp过程else {// 初始化dp数组// dp[i][j]表示掷出了i个幸运币时，// 有多大的概率可以取得和为j的结果，即造成和为j的伤害。double[][] dp = new double[y + 1][h - z + 1];dp[0][0] = 1.0;// 考虑每一个幸运币for (int i = 1; i <= y; i++) {// 对于每一个幸运币考虑打出i-1个硬币后的// 每一种求和结果的概率// 注意，由于已经掷出了i-1个幸运币// 那么求和结果至少为i-1，因为每个幸运币点数至少为1点// 因此j遍历时起点可以从i-1开始for (int j = i - 1; j <= h - z; j++) {// 如果求和j尚未在上一次投掷中取得，// 则可以直接考虑下一个幸运币if (dp[i - 1][j] == 0) {break;}// 遍历掷出六种不同点数k的情况，// 当前点数则可以取得j+kfor (int k = 1; k <= 6; k++) {// 如果当前点数j+k超过了击杀所需点数// 则更新dp[i][h-z]// 为dp[i-1][j]对应的概率乘以(7-k)/6if (j + k >= h - z) {dp[i][h - z] += (7 - k) / 6.0 * dp[i - 1][j];break;}// 如果当前点数j+k尚未超过击杀所需点数// 则其概率由dp[i-1][j]六等分后转移得到else {dp[i][j + k] += 1.0 / 6.0 * dp[i - 1][j];}}}}// 输出最后一行的最后一个元素// 表示打出第n个幸运币后，造成伤害大于等于h-z点的概率System.out.println(String.format("%.5f", dp[y][h - z]));}}
}

C++

#include <iostream>
#include <vector>
#include <iomanip>using namespace std;int main() {int y = 0;            // 掷出幸运币的总个数int z = 0;            // 全部造成的固定伤害int x_temp = 0;       // 时来运转获得的幸运币int n, h;cin >> n >> h;for (int i = 0; i < n; i++) {int t, x;cin >> t >> x;// 时来运转if (t == 1) {x_temp += x;}// 幸运一掷else {y += x_temp;x_temp = 0;z += x;}}// 如果固定伤害已经大于h，直接输出1if (h - z < 0) {cout << fixed << setprecision(10) << 1 << endl;}// 否则才需要进行dp过程else {// 初始化dp数组// dp[i][j]表示掷出了i个幸运币时，// 有多大的概率可以取得和为j的结果，即造成和为j的伤害。vector<vector<double>> dp(y + 1, vector<double>(h - z + 1, 0));dp[0][0] = 1.0;// 考虑每一个幸运币for (int i = 1; i <= y; i++) {// 对于每一个幸运币考虑打出i-1个硬币后的// 每一种求和结果的概率// 注意，由于已经掷出了i-1个幸运币// 那么求和结果至少为i-1，因为每个幸运币点数至少为1点// 因此j遍历时起点可以从i-1开始for (int j = i - 1; j <= h - z; j++) {// 如果求和j尚未在上一次投掷中取得，// 则可以直接考虑下一个幸运币if (dp[i - 1][j] == 0) {break;}// 遍历掷出六种不同点数k的情况，// 当前点数则可以取得j+kfor (int k = 1; k <= 6; k++) {// 如果当前点数j+k超过了击杀所需点数// 则更新dp[i][h-z]// 为dp[i-1][j]对应的概率乘以(7-k)/6if (j + k >= h - z) {dp[i][h - z] += (7 - k) / 6.0 * dp[i - 1][j];break;}// 如果当前点数j+k尚未超过击杀所需点数// 则其概率由dp[i-1][j]六等分后转移得到else {dp[i][j + k] += 1.0 / 6.0 * dp[i - 1][j];}}}}// 输出最后一行的最后一个元素// 表示打出第n个幸运币后，造成伤害大于等于h-z点的概率cout << fixed << setprecision(5) << dp[y][h - z] << endl;}return 0;
}

时空复杂度

时间复杂度：O(yh)。其中y为投掷出的幸运币的总数，h为BOSS总血量，dp过程需要进行双重循环。

空间复杂度：O(yh)。dp数组所占空间。如果使用滚动dp，空间复杂度可以降低到O(h)
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