R²决定系数

$R^2$（决定系数）是一个用于衡量统计模型拟合数据的指标，通常用于线性回归分析。它表示模型所解释的因变量（目标变量）方差的比例，范围从0到1。

更具体地说，$R^2$告诉我们模型能够解释因变量变化的百分比。当$R^2$接近1时，模型能够很好地拟合数据，因为它能够解释大部分因变量的变化。当$R^2$接近0时，模型无法很好地拟合数据，因为它不能解释因变量的变化。

$R^2$的公式如下：
$$R^2=1-\frac{SSR}{SST}$$

其中：

• $R^2$：决定系数
• SSR（Sum of Squares Residual）：残差平方和，表示模型预测值与实际观测值之间的差异的总和。
• SST（Total Sum of Squares）：总平方和，表示因变量的总变差，即实际观测值与因变量均值之间的差异的总和。

为了更好地理解$R^2$，让我们通过一个通俗易懂的例子来说明：

假设你是一名销售经理，想要建立一个线性回归模型，来预测每月销售额与广告投入的关系。你收集了12个月的数据，如下：

月份	广告投入（万元）	销售额（万元）
1	2.0	10.1
2	2.5	12.5
3	3.0	13.0
4	3.5	14.3
5	4.0	15.2
6	4.5	16.0
7	5.0	16.8
8	5.5	18.1
9	6.0	18.5
10	6.5	19.6
11	7.0	20.5
12	7.5	21.2

你建立了一个线性回归模型，拟合出如下的方程：
$$销售额=2.5\ast 广告投入+5.0$$

现在，让我们计算$R^2$来评估模型的拟合质量。

首先，计算SST（总平方和）：
SST = Σ(销售额 - 销售额均值)²
= (10.1 - 16.675)² + (12.5 - 16.675)² + … + (21.2 - 16.675)²
≈ 121.35

接下来，计算SSR（残差平方和），即模型预测值与实际销售额之间的差异的总和：
SSR = Σ(实际销售额 - 模型预测值)²
= (10.1 - (2.5 * 2.0 + 5.0))² + (12.5 - (2.5 * 2.5 + 5.0))² + … + (21.2 - (2.5 * 7.5 + 5.0))²
≈ 23.05

现在，使用R²的公式计算$R^2$：
$$R^2=1-\frac{SSR}{SST}=1-\frac{23.05}{121.35}\approx 0.810$$

这意味着你的模型能够解释销售额变化的大约81%。这是一个相对较高的$R^2$值，表明你的模型相对准确地拟合了数据，广告投入对销售额有较强的解释能力。