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整数划分——DP

news 2026/2/7 12:18:20

用 j j j 个数表示 i i i 的方案数，考虑dp

转移考虑最小值是否为1

无限制

  1. 若为1，则转移到 f ( i + 1 , j + 1 ) f(i+1, j+1) f(i+1,j+1)
  2. 不为1，则全部+1，转移到 f ( i + j , j ) f(i+j, j) f(i+j,j)

数之间不能重复

那么相当于每次整体+1

  1. 若为1，转移到 f ( i + j + 1 , j + 1 ) f(i+j+1, j+1) f(i+j+1,j+1)
  2. 不为1，转移到 f ( i + j , j ) f(i+j, j) f(i+j,j)

数的上界有限制

考虑 f ( i , j ) f(i,j) f(i,j) 所有数都合法，我们现在整体+1，那么不合法的数只会变成 n + 1 n+1 n+1

而我们在上面保证数两两不同，所以我们可以直接让 f ( i , j ) − = f ( i − ( n + 1 ) , j − 1 ) f(i,j)-=f(i-(n+1),j-1) f(i,j)−=f(i−(n+1),j−1)，相当于钦定一个数为 n + 1 n+1 n+1

题目：https://www.luogu.com.cn/problem/P4104

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