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高数笔记03：几何、物理应用

news 2026/2/10 0:08:28

图源：文心一言

本文是我学习高等数学几何、物理应用的一些笔记和心得，希望可以与考研路上的小伙伴一起努力上岸~~🥝🥝

第1版：查资料、画导图~🧩🧩

参考资料：《高等数学基础篇》武忠祥

📇目录

🦮思维导图

🐳向量代数

🐋数量积【数字】

🐋向量积【向量】

🐋混合积【数字】

🐳空间解析几何

🐋平面空间与直线

🐋曲面与空间曲线

🐳积分学的几何应用

🐋单积分、二重积分

🐋三重积分

🐋曲线积分

🐋曲面积分

🐋多元积分应用

🐳场论初步

🔚结语

🦮思维导图

🌸思维导图为整理武老师基础教材所列内容，时间关系有些仓促，请多包涵~
🌸博文后面会以大纲的形式复述一遍，面向复习，不会写得很详细，且可能有误；较为重要的内容有从网络找相关配图并给出大佬博文链接~

🐳向量代数
- 🐋数量积【数字】
  - 几何表示： $a\cdot b=|a||b|cos\theta$
  - 代数表示： $a\cdot b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$
  - 几何应用
    - 求夹角
    - 判定垂直
  图源：线性代数~数量积 - 知乎
- 🐋向量积【向量】
  - 几何表示
    - 模： $|a\times b|=|a||b|sin\theta$
    - 方向：右手法则
  - 代数表示：矩阵【首行基坐标，次行向量a的分量，尾行向量b的分量】
  图源：向量外积的坐标形式_向量外积的坐标表示-CSDN博客
  - 运算规律： $a\times b = -b\times a$ 【模不变，方向相反】
  - 几何应用
    - 求同时垂直于 a 和 b 的向量
    - 判定平行
    - 求以a和b为邻边的平行四边形的面积
  图源：向量的数量积与向量积 - 童趣PBL
- 🐋混合积【数字】
  - 几何表示： $(a bc)=(a\times b)\cdot c$
  - 代数表示：矩阵【首行向量a的分量，次行向量b的分量，尾行向量c的分量】
  图源：1272.　如何计算混合积?-高等数学-专业词典
  - 运算规律
    - 轮换对称性： $(abc)=(bca)=(cab)$
    - 交换变号： $(abc)=-(acb)$
    - 原理：矩阵交换1次行列变正负号
  - 几何应用
    - 求以a、b、c为邻边的平行六边体的面积
    - 求向量共面：(abc)=0【等式中任意两个向量平行，则3个向量必共面】
  图源：混合积的几何意义
🐳空间解析几何
- 🐋平面空间与直线
  - 概要
    - 平面方程
      一般式：
      $Ax+By+Cz+D=0$
      点法式：平面上1点(x0,y0,z0)和法线向量(A,B,C)表示直线
      $A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0$
      截距式：经过坐标轴的3个交点表示平面
      $x/a+y/b+z/c=1$
      
      图源：平面方程_百度百科 (baidu.com)
    - 直线方程
      一般式：2个平面的交线表示直线
      $\left\{\begin{matrix} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{matrix}\right.$
      对称式：直线上1点(x0,y0,z0)和方向向量(l,m,n)表示直线
      $\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$
      参数式：直线上1点(x0,y0,z0)和方向向量(l,m,n)表示直线
      $\left\{\begin{matrix} x=x_0+mt \\ y=y_0+nt \\ z=z_0+pt \end{matrix}\right.$
      
      图源：不可不知的——直线的参数方程 (qq.com)
    - 点到平面的距离
      
      距离为M1M0在平面法向量的投影长度：
      
      代入点，M1与MO点乘为分子，M0满足平面方程化简，平面法向量的模为分母：
      
      图源：点到平面距离_百度百科 (baidu.com)
    - 点到直线的距离
      
      平行四边形满足等式：
      
      $S=|\vec{AB}\times\vec{S}|=d\cdot|\vec{S}|$
      
      代入方向向量S（l,m,n），B（x1,x2,x3）,A（x0,y0,z0），得
      
      $d=\frac{\vec{AB}\times\vec{S}}{|\vec{S}|}=\frac{(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)\times(l,m,n)}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}$
  - 题型
    - 求法向量、切线向量，建立平面与直线的方程
    - 求点到直线的距离
- 🐋曲面与空间曲线
  - 概要
    - 曲面方程
      $F(x,y,z) = 0$
      $z=f(x,y)$
    - 空间曲线
      参数式【螺线】
      
      图源：确实没找到...
      
      一般式：2个曲面的交线表示空间曲线
      $\left\{\begin{matrix} F(x,y,z)=0 \\ G(x,y,z)=0 \end{matrix}\right.$
    - 常见曲面
      - 旋转面：平面曲线绕平面直线旋转
      - 柱面：平行与定直线并沿定曲线移动的直线形成的轨迹
        
        图源：抛物柱面函数 - 快懂百科
      - 二次曲面
        
        圆柱面
        
        圆锥面
        
        旋转抛物面
        
        椭球面
        
        图源：【高等数学】九种标准二次曲面 - 知乎 (zhihu.com)
      - 空间曲线投影
        
        投影柱面：曲线一般式联立消去z，得到的二元方程即为母线为z轴的投影柱面
        投影平面：在投影柱面方程的基础上，增加限制条件 z = 0，检查其它变量的取值范围，即为曲线在xoy面的投影
        
        图源：柱面坐标 - 搜狗百科 (sogou.com)
  - 题型
    - 曲面方程
      求柱面方程
      求旋转面方程
      求投影曲线方程
    - 解析几何
      曲面的切平面与法线，核心：求法向量
      曲线的切线与法平面，核心：求切向量

🐳积分学的几何应用
- 🐋单积分、二重积分
  - 概念
    - 平面图形的面积
      直角坐标
      $S=\int_{a}^{b}\mathrm{d}x\int_{f(x)}^{g(x)}\mathrm{d}y=\int_{a}^{b} f(x)-g(x) \mathrm{d}x$
      极坐标
      $S=\int_{\alpha}^{\beta}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{r(\theta)}r\mathrm{d}y=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2(\theta) \mathrm{d}x$
    - 旋转体体积
      绕x轴旋转 $V_x=\pi\int_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{d}x$ ，其中体积微元 $\mathrm{d}v$ = 底面积 $\pi f^2(x)$ x 高 $\mathrm{d}x$
      
      图源：单变量微积分-第十六讲-积分的应用（一） - 知乎
      
      绕y轴旋转 $V_y=2\pi\int_{a}^{b}xf(x)\mathrm{d}x$ ，其中体积微元 $\mathrm{d}v$ = 环状窄带周长 $2\pi x$ x 截面积 $f(x)\mathrm{d}x$
      
      图源：定积分的应用之柱壳法求旋转体体积_-CSDN博客
      
      绕直线旋转 $V=2\pi\int\int_{D_xy}r(x,y)\mathrm{d}\sigma$ ，其中体积微元 $\mathrm{d}v$ = = 环状窄带周长 $2\pi r(x,y)$ x 截面积 $\mathrm{d}\sigma$ ， $r(x,y)$ 表示点到直线距离
      
      图源：高等数学解题常用公式笔记总结
    - 曲线弧长：同对弧长的线积分
    - 旋转体侧面积
      绕x轴旋转 $S=2\pi\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}s$ ，其中面积微元 $\mathrm{d}S$ = 环状窄带周长 $2\pi \mathrm{d}s$ x 高度 $f(x)$ ， $ds=\sqrt{1+y'^2(x)}$
      
      图源：求曲线绕x轴旋转一周的旋转体的侧面积_360问答
  - 题型
    - 几何应用：
      定积分求面积
      绕轴旋转体积
    - 物理应用
      - 容积 = 底面积 x 高
        
        球1底面积 $\pi\times x^2$ ，高度微元 $\mathrm{d}y$
        球1体积微元 $\mathrm{d}v=\pi\times x^2\mathrm{d}y$ ，积分域-1到1/2
        球1体积 $V=\pi\int_{-1}^{1/2} x^2\mathrm{d}y$ ，代入圆的公式 $x^2+y^2=1$ ，得 $V=\pi\int_{-1}^{1/2} 1-y^2\mathrm{d}y$
        球2与球1体积相等，球1体积×2即为所求
      - 做功 = 力 x 距离
        
        球1受力微元 $\rho g\mathrm{d}v=\rho g(\pi\times x^2\mathrm{d}y)$ ，距离 $2-y$ ；
        球1做功微元 $\mathrm{d}w=\rho g\pi\times (1-y^2)\mathrm(2-y){d}y$ ；
        以上，球1区域做功 $W=\rho g\pi\int_{-1}^{1/2} (1-y^2)\mathrm(2-y)\mathrm{d}y$ ；
        同理，球2区域做功 $W=\rho g\pi\int_{1/2}^{2} (2y-y^2)\mathrm(2-y)\mathrm{d}y$ ；
      - 压强 = 压力 x 面积
        
        区域1压力： $\rho gH=\rho g(h+1-y)$ ，区域1面积 $2 \times \mathrm{d}y$ ；
        区域1压强微元： $\mathrm{d}p=\rho g(h+1-y)\times2\mathrm{d}y$ ；
        区域1压强： $P=2\rho g\int_{1}^{h+1} (h+1-y)\mathrm{d}y$ ；
        区域2压力： $\rho gH=\rho g(h+1-y)$ ，区域2面积 $2x\mathrm{d}y$ ；
        区域2压强微元： $\mathrm{d}p=\rho g(h+1-y)\times2\sqrt{y}\mathrm{d}y$ ；
        区域2压强： $P=2\rho g\int_{0}^{1} (h+1-y)\sqrt{y}\mathrm{d}y$ ；
- 🐋三重积分
  - 简述：区域点的函数值 x 体积微元，累加求和
  - 性质
    - 奇偶性、轮换对称性
    - 不等式性质
    - 积分中值定理
  - 计算
    - 先一后二
      计算
      作垂直于z轴的直线，穿过封闭底面z1(x,y)与顶面z2(x,y)，即z的积分上下限是x，y的函数
      先计算有关z的积分，再转化为求x，y的二重积分
      适合坐标
      印象中比较万能...
      
      $\iiint_{\Omega } z\mathrm{d}v=\iint_{x^2+y^2\le 1/2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y\int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{1-x^2-y^2}}z\mathrm{d}z$
    - 先二后一
      计算
      作平行于z轴的截面，得到封闭曲线，即z的积分上下限是常数
      先计算有关x,y的二重积分，再转化为求z的单积分
      适合坐标
      被积函数： $f(x,y,z)=\phi(z)$ ，这一步可能需要借助奇偶性、对称性转换得到
      积分域： $D_z$ 面积较为规则，方便计算
      
      $\iiint_{\Omega } z\mathrm{d}v=\int_{0}^{1/\sqrt2}z\mathrm{d}z \iint_{x^2+y^2\le z^2} \mathrm{d}x\mathrm{d} y+\int_{1/\sqrt2}^{1}z\mathrm{d}z \iint_{x^2+y^2\le 1-z^2} \mathrm{d}x\mathrm{d} y$
    - 柱坐标
      与直角坐标的关系
      坐标
      $x=rcos\theta$
      $y = rsin\theta$
      $z=z$
      体积微元
      $dv = rdr d\phi dz$
      适合坐标
      被积函数： $f(x,y,z)=\phi(z)g(\sqrt{x^2+y^2})$
      积分域：柱面、锥面
      
      $\iiint_{\Omega } z\mathrm{d}v=\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{1/\sqrt2} \mathrm{d}r\int_{r}^{\sqrt{1-r^2}} zr\mathrm{d} r$
    - 球坐标
      与直角坐标的关系
      坐标
      $x=rsin\phi cos\theta$
      $y = rsin\phi sin\theta$
      $z=rcos\phi$
      体积微元
      $dv = r^2sin\phi dr d\phi d\theta$
      适合坐标
      被积函数： $f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})$
      积分域：球面、球壳、锥面
      
      $\iiint_{\Omega } z\mathrm{d}v=\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{\pi/4} \mathrm{d}\phi\int_{0}^{1} r\cos\phi r^2\sin\phi\mathrm{d} r$
- 🐋曲线积分
  - 对弧长的线积分
    - 简述：函数值 x 弧长微元，累加求和
    - 计算方法
      直接法
      体积微元
      参数方程： $ds=\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}$
      直角坐标： $ds=\sqrt{1+y'^2(x)}$
      极坐标： $ds=\sqrt{r^2+r'^2}$
      积分域：从小到大【与方向无关，要求结果是正数】
      奇偶性【x轴、y轴】
      对称性【直线y=x】
    图源：【高等数学】定积分元素法及应用（待续） - 知乎
  - 对坐标的线积分
    - 简述：函数值 x 有向线段的投影，累加求和
    - 计算方法
      直接法
      被积函数：代入直角坐标，或极坐标、参数方程
      积分域：从起点到终点【与方向有关，逆时针为正向】
      格林公式
      要求
      闭区域由分段光滑曲线围成
      被积函数在积分域上有一节连续偏导数
      作用：平面坐标的线积分转化为二重积分
      
      图源：格林公式 - 搜狗百科
      
      斯托克斯公式
      要求
      闭区域由空间分段光滑曲线围成，方向符合右手法则
      被积函数在积分域上有一节连续偏导数
      作用：空间坐标的线积分转化为二重积分
      
      图源：斯托克斯公式的意义? - 知乎
      
      图源：怎么记住斯托克斯公式（Stokes' theorem）？ - 知乎
    - 方法选择
      曲线L是否封闭？
      是：格林【平面】/ 斯托克斯【空间】
      否：是否与路径无关？
      是
      改换路径【一般选择平行坐标轴】
      寻找原函数【偏积分、凑微分】
      否
      直接法【注意方向】
      补线使用公式
  - 两类线积分的关系
    - 对弧长的线积分 x 曲线在切线方向的余弦 = 对坐标的线积分
    图源：多元微积分—— 知乎
- 🐋曲面积分
  - 对面积的面积分
    - 简述：函数值 x 面积微元，累加求和
    - 计算方法
      直接法
      体积微元： $ds=\sqrt{1+(z_x')^2+(z_y')^2}$
      积分域：从小到大【与方向无关，要求结果是正数】
      奇偶性【x轴、y轴】
      轮换对称性
  - 对坐标的面积分
    - 简述：函数值 x 有向投影域面积，累加求和
    - 计算方法
      直接法
      被积函数：代入直角坐标 $y=f(x)$ ，或极坐标、参数方程
      积分域：从起点到终点【与方向有关，上、前、右侧为正向】
      高斯公式
      要求
      闭区域由分段光滑曲线围成
      被积函数在积分域上有一节连续偏导数
      作用：空间坐标的面积分转化为三重积分
      
      图源：高斯公式 - Bing
    - 方法选择
      曲面是否封闭且不存在奇点？
      是：高斯公式
      否
      直接法【注意方向】
      补面【不封闭】或作辅助面【存在奇点】使用公式
  - 两类面积分的关系
    - 对面积的面积分 x 曲面在切线方向的余弦 = 对坐标的面积分
- 🐋多元积分应用
  - 概要
    - 平板面【二重积分】
      面积
      被积函数：1
      质量
      被积函数： $\rho(x,y)$
      质心
      被积函数： $\frac{x\rho(x,y)}{\rho(x,y)}$
      转动惯量
      被积函数： $y^2\rho(x,y)$ 【对y轴】
    - 推广
      空间体【三重积分】
      曲线【一型线积分】
      曲面【一型面积分】
    - 变力做功【二型线积分】
    - 通量【二型面积分】
  - 题型
    - 形心
    - 质心
    - 变力做功

🐳场论初步
- 方向导数：函数在某点对指定方向求导的结果
- 梯度：函数在这点方向导数最大的方向
- 散度：向量场在某点吸收或散发通量的大小
- 旋度：向量场对某点微元造成的旋转程度
详见大佬博文【我实在是打不动公式了...🫠】微积分-13.场论初步 - 知乎 (zhihu.com)

🔚结语

😶‍🌫️博文到此结束，写得模糊或者有误之处，欢迎小伙伴留言讨论与批评，督促博主优化内容~

🌟博文若有帮助，欢迎小伙伴动动可爱的小手默默给个赞支持一下，博主肝文的动力++~

🌸博主可能会佛系更新思维导图，在这里：

高等数学_梅头脑_的博客-CSDN博客https://blog.csdn.net/weixin_42789937/category_12380893.html

高数笔记03：几何、物理应用

图源：文心一言本文是我学习高等数学几何、物理应用的一些笔记和心得，希望可以与考研路上的小伙伴一起努力上岸~~🥝🥝 第1版：查资料、画导图~🧩🧩 参考资料：《高等数学基础篇》武…...

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习题1. 31

话不多说先上代码 (defn product [ term a nxt b](defn iter [a result](if (> a b)1 (* (term a) (iter (nxt a) result))))(iter a 1)) 跟习题1.30比较起来，就是两个地方不同乘法不能乘0 必须是1。难度来讲，跟1.30难度是一样的。增加了迭代过…...

编程日记 2023/10/15 1:35:52

见微知著：从企业售后技术支持看云计算发展

作者：余凯售后业务中的细微变化作为阿里云企业容器技术支持的一员，每天会面对全球各地企业级客户提出的关于容器的各种问题，通过这几年的技术支持的经历，逐步发现容器问题客户的一些惯性，哪些是重度用户&#xff0…...

编程日记 2023/10/15 1:34:51

C++笔记之如何给 `const char*` 类型变量赋值

C笔记之如何给 const char* 类型变量赋值 code review! 文章目录 C笔记之如何给 const char* 类型变量赋值1.在C中，如果你要给一个 const char* 变量赋值，你通常有几种方法来做这件事，具体取决于你的需求。下面是一些常见的方法：…...

编程日记 2023/10/15 1:33:50

9.Linear Maps

线性映射线性映射是将向量作为输入并产生一些新向量作为输出的转换。从坐标定义开始(数组)，再到2，3，并展示它们是如何关联的线性映射的坐标表示最终是矩阵， 1.坐标定义（数组） 列向量是向量的坐标表示…...

编程日记 2023/10/15 1:32:49

大数据Doris（十）：添加BE步骤

文章目录添加BE步骤一、使用mysql连接二、添加be...

编程日记 2023/10/15 1:31:48

C++初阶-list的底层

目录 1.std::list实现的所有代码 2.list的简单介绍 2.1实现list的类 2.2_list_iterator的实现 2.2.1_list_iterator实现的原因和好处 2.2.2_list_iterator实现 2.3_list_node的实现 2.3.1. 避免递归的模板依赖 2.3.2. 内存布局一致性 2.3.3. 类型安全的替代方案 2.3.…...

编程新知 2026/2/8 20:42:41

高频面试之3Zookeeper

高频面试之3Zookeeper 文章目录高频面试之3Zookeeper3.1 常用命令3.2 选举机制3.3 Zookeeper符合法则中哪两个？3.4 Zookeeper脑裂3.5 Zookeeper用来干嘛了 3.1 常用命令 ls、get、create、delete、deleteall3.2 选举机制半数机制（过半机制&#xff0…...

编程新知 2026/1/25 13:13:20

如何将联系人从 iPhone 转移到 Android

从 iPhone 换到 Android 手机时，你可能需要保留重要的数据，例如通讯录。好在，将通讯录从 iPhone 转移到 Android 手机非常简单，你可以从本文中学习 6 种可靠的方法，确保随时保持连接，不错过任何信息。第 1…...

编程新知 2026/1/31 5:09:27

Android15默认授权浮窗权限

我们经常有那种需求，客户需要定制的apk集成在ROM中，并且默认授予其【显示在其他应用的上层】权限，也就是我们常说的浮窗权限，那么我们就可以通过以下方法在wms、ams等系统服务的systemReady()方法中调用即可实现预置应用默认授权浮…...

编程新知 2026/2/1 4:13:59

[Java恶补day16] 238.除自身以外数组的乘积

给你一个整数数组 nums，返回数组 answer ，其中 answer[i] 等于 nums 中除 nums[i] 之外其余各元素的乘积。题目数据保证数组 nums之中任意元素的全部前缀元素和后缀的乘积都在 32 位整数范围内。请不要使用除法，且在 O(n) 时间复杂度…...

编程新知 2025/10/3 13:53:38

Hive 存储格式深度解析：从 TextFile 到 ORC，如何选对数据存储方案？

在大数据处理领域，Hive 作为 Hadoop 生态中重要的数据仓库工具，其存储格式的选择直接影响数据存储成本、查询效率和计算资源消耗。面对 TextFile、SequenceFile、Parquet、RCFile、ORC 等多种存储格式，很多开发者常常陷入选择困境。本文将从底…...

编程新知 2025/12/6 10:54:35

网站指纹识别

网站指纹识别网站的最基本组成：服务器（操作系统）、中间件（web容器）、脚本语言、数据厍为什么要了解这些？举个例子：发现了一个文件读取漏洞，我们需要读/etc/passwd，如…...

编程新知 2026/2/2 17:06:29

《C++ 模板》

目录函数模板类模板非类型模板参数模板特化函数模板特化类模板的特化模板，就像一个模具，里面可以将不同类型的材料做成一个形状，其分为函数模板和类模板。函数模板函数模板可以简化函数重载的代码。格式：templa…...

编程新知 2025/6/11 3:20:47

Go语言多线程问题

打印零与奇偶数（leetcode 1116） 方法1：使用互斥锁和条件变量 package mainimport ("fmt""sync" )type ZeroEvenOdd struct {n intzeroMutex sync.MutexevenMutex sync.MutexoddMutex sync.Mutexcurrent int…...

编程新知 2025/9/23 8:19:28

三分算法与DeepSeek辅助证明是单峰函数

前置单峰函数有唯一的最大值，最大值左侧的数值严格单调递增，最大值右侧的数值严格单调递减。单谷函数有唯一的最小值，最小值左侧的数值严格单调递减，最小值右侧的数值严格单调递增。三分的本质三分和二分一样都是通过不断缩…...

编程新知 2026/1/31 2:50:32

📇目录

🦮思维导图

🐳向量代数

🐋数量积【数字】

🐋向量积【向量】

🐋混合积【数字】

🐳空间解析几何

🐋平面空间与直线

🐋曲面与空间曲线

🐳积分学的几何应用

🐋单积分、二重积分

🐋三重积分

🐋曲线积分

🐋曲面积分

🐋多元积分应用

🐳场论初步

🔚结语

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