9.Linear Maps

线性映射

线性映射是将向量作为输入并产生一些新向量作为输出的转换。

从坐标定义开始(数组)，再到2，3，并展示它们是如何关联的

线性映射的坐标表示最终是矩阵，

1.坐标定义（数组）

列向量是向量的坐标表示。

行向量是协向量的坐标表示。

矩阵是线性映射的坐标表示。

矩阵是如何转变向量的？

例子

现有一个作用于2x1列向量的2x2矩阵，输出的向量是？

但仅通过查看矩阵中的数字来理解矩阵在做什么会让人感到困惑。

但对所有这些数字的含义，有一个简单的解释：
注意，若使用列向量 作为输入，将得到矩阵的第一列作为输出。
           若使用列向量 作为输入， 将得到矩阵的第二列作为输出。

现这些列向量  、    ， 它们有点像基向量e1、e2的副本，
之所以说是像副本，是因为这里非常重要的一点：线性映射转换向量，但是线性映射不转换基向量！
因此，当使用线性映射转换向量时，基底是不会变的。  我们不会移动基底，

 虽然输出向量可能与输入向量不同，但我们仍将使用相同的基底来测量输出向量，但话虽如此，对于矩阵，第 i 列会告诉你将第 i 个基向量的副本映射到哪里。

因此，从视觉上观察一下，
现有两基底：e1、e2，还有两向量v，w。v和w有点像e1、e2的副本，

有个矩阵如下：                
        ​​​​​​​        ​​​​​​​        

那么该矩阵会将向量v(v像e1的副本)发送到哪？

只看矩阵的第一列，

它表示向量5e1+3e2 ， 这就是线性映射的输出，

V在视觉上：

矩阵对向量w(e2的副本)做了什么？

看矩阵的第二列，给我们输出 -e1+4e2

视觉上：

注意到，基向量没有移动，因为线性映射不会改变基底，我们仍用相同的基底测量输出向量，

所以，综上，矩阵是线性映射的坐标解释。

2.几何定义（线性映射视为图片）

线性映射 是 空间转换，并且保持线平行， 保持线间隔均匀，保持原点静止。

为从视觉上了解它的外观，从2D空间开始，上面有一堆网格线：

（初始的输入空间？）

这里有三个线性映射的例子：

所以，上面这个线性映射基本上只是水平方向的拉伸。

这个线性映射像一个旋转，

这个线性映射像做一个倾斜变换(可把它想象成在这个方向上做一个旋转，然后沿着这个轴伸展)。

正如上面这些图所示，在所有这些情况下， 输出空间中的网格线仍然彼此平行， 都是均匀分布的(即使间距与输入空间不同)，并且原点没有移动。

所有的上面这些都是线性映射可以做到的。

（注意，在该定义下，translation are not linear maps------平移不是线性映射。即使平移能使得网格线平行，间距均匀，但平移会移动原点，所以平移不是线性映射）

所以，这就是可视化的几何定义。

 

3.抽象定义（纯代数）

线性映射 是将 向量 映射 到 向量 的函数。

在该情况下，现有一映射L将 向量从向量空间V 映射到 向量空间W，我们很多例子涉及到的映射是从空间V映射到 空间V， 但一般来说，输入和输出空间可以不同。

且线性映射在这里遵循两个属性：

1、可添加线性映射的输入或输出并得到相同的答案。

2.可缩放输入或缩放输出并得到相同的答案。

这两个属性被称为“线性”、 。 所以协向量和线性映射都是线性函数。唯一的区别是：协向量输出一个标量，线性映射输出向量。

下面展示 这个抽象定义 如何 与我们看到的其他定义相关联。

如前所说，有这个属性：

现展示它的几何意义，在网格上绘制输入变量，这里我们有绿色的向量v和紫色的向量w，

v+w 用黑色表示。

现展示这图中的三个线性映射是如何服从这个代数性质的。

在这些所有的输出空间中可以看到，加法定律仍然有效，

对缩放规则(第二个属性)也做同样的事情。

因此，先缩放再转换 与 先转换再缩放 是一回事。

还有一个问题，坐标定义的来源

对于下图这个矩阵乘法公式，若你不知道它背后的原因，它看起来真的很奇怪。

事实证明，矩阵乘法规则实际上来自上面这个抽象定义，

证明：

首先我们有一个线性映射L，它作用于向量V，并产生输出向量W，

若将向量V拓展成它的分量，就能得到

通过L的线性规则，得到：

e1、e2是向量，所以你可能会问如何根据   基底e1、e2来表达这些向量，
现做个 简单的假设：
假设线性映射L是从V到V的函数，因此输入空间和输出空间是相同的。
因此，输出空间V仍然具有基底e1、e2，

这意味着我们仍然可以将 这些输出向量 写为相同的旧基 e1、e2的线性组合，

而这些线性组合的系数,

这些L系数帮助我们使用“e”基底向量构建线性映射的输出向量。
 

所以，可以将输出向量重写为基的线性组合，并且可在此切换内容为以按基向量e1、e2来重新分组，

现在，由于将W写成基向量的线性组合，

因此，这些系数 实际上 只是W的分量：w1、w2 ， 

所以现在我们已经推到出 如何使用这些公式将V系数转换为W系数，

而这些公式 就是那些当你做标准的2x2矩阵乘以一个2x1的列向量。

现总结一下，如果我们有一个线性映射L，它可以像这样将向量V转换为另一个向量W，其中W可以写成基底的线性组合，并且我门知道如何使用L系数转换基底（或者说我们知道L如何转换基向量副本可能更好）

这意味着我们可以在这里使用这些公式将V分量变为W分量。

如果对任意数量的维度重复这个论点，如果我们有一个n维的线性映射L，
我们将从这里的公式中得到所有的L系数，然后可以使用这个公式将V分量转换为W分量，