02 线性组合、张成的空间与基

这是关于3Blue1Brown "线性代数的本质"的学习笔记。

基向量

当看到一对描述向量的数时，比如[3,-2]时，把这对数中的每个数（坐标）看作一个标量，表示它们如何对坐标系上各轴单位向量$\vec{i}$和$\vec{j}$进行拉伸或压缩。

图1 向量坐标就是对坐标系各基向量的压缩或拉伸

单位向量$\vec{i}$和$\vec{j}$就是这个2维坐标系$xy$的基向量。

缩放向量并相加

图2 一个向量是两个经过缩放的向量之和

从这个角度看，向量[3,-2]实际上是两个经过缩放的向量之和。

每当我们用数字对表示一个向量时，它都依赖于我们正在使用的基向量。

图3 两个向量的线性组合

两个数乘向量之和被称为这两个向量的线性组合。如果让两个向量的线性组合中的标量$a,b$同时自由变化，大多数情况下能到达2维平面内的每一个点。只有两种情况下例外，一是这两个向量共线，二是这两个向量是零向量。

给定向量张成的空间

所有可以表示为两个给定向量线性组合的向量的集合，被称为两个给定向量张成的空间。

图4 两个给定向量张成的空间 同样地，这里有个例外，当给定的这两个向量共线时，其张成的空间是这条直线上的所有向量的集合。

图5 三维空间中，两个给定向量张成的空间 三维空间中，两个给定向量张成的空间就是某个过原点的平面。 如果我们再加上第三个向量，那么它们张成的空间又是什么样？

图6 三维空间中，三个给定向量张成的空间是什么样的

• 如果第三个向量恰好落在前面两个向量张成的平面上，它们张成的空间并不会发生变化
• 如果第三个向量没有在前面两个向量张成的平面上，它们张成的空间构成整个3维空间

可以想象，第三个向量将前面两个向量张成的平面沿它的方向来回移动，从而扫过整个3维空间。

线性相关与线性无关

两个给定向量共线，或者第三个向量恰好落在前面两个向量张成的平面上，这两种情况下，也就是一组向量中至少有一个是多余的，对张成的空间没有贡献，这时候就称它们是线性相关（Linearly dependent）的。另一种说法就是，一组向量中，有向量可以表示为其他向量的线性组合，那它们就是线性相关的；因为这个向量已经落在了其他向量张成的空间之中。

另一方面，如果一组向量中的所有向量都给张成的空间增添了新的维度，它们就被称为是线性无关的。

空间的基

空间的一组基的严格定义：张成该空间的一个线性无关向量的集合。即：向量空间的一组基是张成改空间的一个线性无关向量集。