AM@方向导数概念和定理

abstract

• 方向导数的概念,定理和计算公式
• 方向导数是对偏导的补充,其本质上是一个极限问题,而其计算可以转化为偏导的计算和方向余弦的计算,表现为偏导数构成的向量和方向余弦构成的向量作数量积

方向导数

• 偏导数反映的是函数(自变量)沿着坐标轴方向的变换率

• 为研究多元函数在某一点P沿任意方向(某个方向)的变化率,偏导数无法满足要求,因此引入多元函数的方向导数的概念

  • 例如,设$f(P)$表示某物体内点P的温度,那么这个物体的热传导就依赖于温度沿某些方向的变化率
  • 预测某地的风向和风力,就需要知道气压在该处沿某些方向的变化率

二元函数方向导数

• 设$l$为$xOy$平面上以$P_0(x_0,y_0)$为始点的一条射线,设其倾斜角为$\alpha (\alpha \in [0,\pi ))$,则${\mathbf{e}}_{\mathbf{l}}$=$(\cos \alpha ,\cos \beta )$是与$l$同方向的单位向量
  • $\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}$,$\cos \beta =\sin \alpha$,${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta$=${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$
• 由直线的参数方程公式,射线所在直线的参数方程为$x=x_0+t\cos \alpha$;$y=y_0+t\cos \beta$,其中$t$为任意常数;而此处要求射线的方程,需要限制$t⩾0$
• 设函数$z=f(x,y)$在点$P_0$的某个邻域$U(P_0)$内有定义,$P(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )$为$l$上的另一点,切$P\in U(P_0)$
  • 若记函数增量$\Delta z$=$f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )-f(x_0,y_0)$;$P\to P_0$的距离$|P{P}_0|=t$
  • $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{\Delta z}{t}$极限存在,则称该极限为$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$沿方向$l$的方向导数,记为$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0)}$
  • 即$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0)}$=$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{\Delta z}{t}$(1)
• 由方向导数的定义可知,式(1)就是$f(x,y)$在点$P_0$处沿着方向$l$的变化率(射线$l$方向的变化率)
• 方向导数本质是求极限

偏导数是方向导数的特例

偏导数存在一定有对应的方向导数存在

• 若函数$f(x,y)$在点$P_0$的偏导数存在,沿$x$轴正方向同向的一个单位向量为${\mathbf{e}}_l$=$\mathbf{i}$=$(1,0)$,则$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0)}$=$f_x(x_0,y_0)$
  • 此时$\Delta z$=$f(x_0+t,y_0+0t)-f(x_0,y_0)$=$f(x_0+t,y_0)-f(x_0,y_0)$
• 同理,若${\mathbf{e}}_l$=$\mathbf{j}=(0,1)$,则$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0)}$=$f_y(x_0,y_0)$
  • 此时$\Delta z$=$f(x_0+0t,y_0+t)-f(x_0,y_0)$=$f(x_0,y_0+t)-f(x_0,y_0)$

方向导数存在不一定有偏导数存在

• 若${\mathbf{e}}_l=\mathbf{i}$,$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0)}$存在,未必有$\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(x_0,y_0)}$=$f_x(x_0,y_0)$存在
  • 例如:$z=\sqrt{x^2+y^2}$在点$O(0,0)$处沿$l=\mathbf{i}$的方向的方向导数$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(0,0)}$=1
    • 由方向导数的定义可以计算方向导数,但是这很不方便,后面介绍使用方向导数存在定理和计算公式
    • 这里先用定义计算:${\Delta }_z=f(x_0+t,y_0)-f(x_0,y_0)$=$f(t,0)-f(0,0)$=$|t|-0$=$t$,$(t>0)$
    • 从而$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{\Delta z}{t}$=1,即$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(0,0)}$=1
  • 而$\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(0,0)}$不存在(因为$\frac{\partial f}{\partial x}$=$\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$,在$(0,0)$处没有定义)

例

• 求函数$z=x{e}^{2y}$在点$P(1,0)$处,沿从点P到Q(2,-1)的方向的方向导数值

  • 方向$l$,即$\overrightarrow{PQ}=(2-1,-1-0)=(1,-1)$的方向

  • 单位向量$l_0=\frac{1}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}(1,-1)=(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})$

    • $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}$
    • $\cos \beta =-\frac{1}{\sqrt{2}}$

  • ${\frac{\partial z}{\partial x}|}_P=e^{2y}{|}_{(1,0)}=1$;${\frac{\partial z}{\partial y}|}_P=2x{e}^{2y}{|}_{(1,0)}=2$

  • $\frac{\partial z}{\partial l}$=${\frac{\partial z}{\partial x}|}_P\cos \alpha +{\frac{\partial z}{\partial y}|}_P\cos \beta$=$1\times \frac{1}{\sqrt{2}}+2\times -\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

三元函数方向导数

• 对于三元函数$u=f(x,y,z)$来说,它在空间一点$P_0(x_0,y_0,z_0)$沿某$P_0$为始点的射线$l$的方向${\mathbf{e}}_l$=$(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$的方向导数为$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0)}$=$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{\Delta u}{t}$(1)

  • 其中$\Delta u$=$f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta ,z_0+t\cos \gamma )-f(x_0,y_0,z_0)$

• 若式(1)极限存在,则称该极限为$u=f(x,y,z)$在点$P_0$沿方向$l$的方向导数,记为$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0,z_0)}$

例

• 设多元一次函数$f(x,y,z)=ax+by+cz$,向量$l$的方向余弦为$\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$
• 设点$P(x,y,z)$,$P^{\prime }(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)$都是$f(x,y,z)$上的点
  • $\Delta f$=$f(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)$-$f(x,y,z)$=$a(x+\Delta x)+b(y+\Delta y)+c(z+\Delta z)$-$(ax+by+cz)$=$a\Delta x+b\Delta y+c\Delta z$
  • $f(x,y,z)$沿$l$方向的平均变化率为$\frac{\Delta f}{|P{P}^{\prime }|}$=$\frac{1}{|P{P}^{\prime }|}(a\Delta x+b\Delta y+c\Delta z)$

    • $(\Delta x,\Delta y,\Delta z)$=$(|P{P}^{\prime }|\cos \alpha ,|P{P}^{\prime }|\cos \beta ,|P{P}^{\prime }|\cos \gamma )$

    • $a\Delta x+b\Delta y+c\Delta z$=$(a|P{P}^{\prime }|\cos \alpha +b|P{P}^{\prime }|\cos \beta +c|P{P}^{\prime }|\cos \gamma )$

    • $\frac{\Delta f}{|P{P}^{\prime }|}$=$a\cos \alpha +b\cos \beta +c\cos \gamma$;

    • 令$t=|P{P}^{\prime }|$,$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\Delta f}{t}$=$a\cos \alpha +b\cos \beta +c\cos \gamma$,所以$\frac{\partial f}{\partial l}$=$a\cos \alpha +b\cos \beta +c\cos \gamma$(1)

  • 这表明,一次函数沿$l$方向的方向导数不随点的位置而改变
  • 但是沿不同方向的方向导数一般不同(方向余弦发生改变)

方向导数存在定理和计算公式

• 若函数$z=f(x,y)$在点$P(x_0,y_0,z_0)$可微分,那么函数在该点沿任意方向$l$的方向导数存在,且$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0)}$=$f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\cos \beta$(0)
  • 其中$\cos \alpha ,\cos \beta$是方向$l$方向余弦;直线$l$在坐标面$xOy$内,所以若要按空间直线处理,$\cos \gamma$=0
• 类似的,若函数$u=f(x,y,z)$在点$(x_0,y_0,z_0)$为微分,则函数在该点验证方向${\mathbf{e}}_l$=$(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$的方向导数为$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0,z_0)}$=$f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\cos \beta +f_z(x_0,y_0,z_0)\cos \gamma$

证明

二元函数

• 由假设,$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$可微分,所以$\Delta z$=$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$-$f(x_0,y_0)$=$f_x(x_0,y_0)\Delta x$+$f_y(x_0,y_0)\Delta y$+$o(\rho )$(1);其中$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$,但点$(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$在以$P_0$为始点的射线$l$上时,自变量$x,y$的增量之间存在确定关系,应有$\Delta x=t\cos \alpha$,$\Delta y=t\cos \beta$,$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}=t$
  • 式(1)改写为$\Delta z$=$f_x(x_0,y_0)t\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)t\cos \alpha +o(t)$
• 所以$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{\Delta z}{t}$=$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{f_x(x_0,y_0)t\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)t\cos \alpha +o(t)}{t}$=$f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\cos \beta$(2)’
• 定理和计算公式(0)得证

三元函数

• 设$P^{\prime }(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y,z_0+\Delta z)$是$l$上的点,则$l$的方向余弦可以表示为:

  • $\cos \alpha =\frac{\Delta x}{|P{P}^{\prime }|}$
  • $\cos \beta =\frac{\Delta y}{|P{P}^{\prime }|}$
  • $\cos \gamma =\frac{\Delta z}{|P{P}^{\prime }|}$
  • $|P{P}^{\prime }|=\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2+(\Delta z{)}^2}$

• 由假设的$f(x,y,z)$可微,由可微的定义:

  • $$\begin{array}{rl}f(P^{\prime })-f(P)=& f_x(P_0)\Delta x+f_y(P_0)\Delta y+f_z(P_0)\Delta z\\ & +o(\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2+(\Delta z{)}^2})\\ =& f_x(P_0)\Delta x+f_y(P_0)\Delta y+f_z(P_0)\Delta z+o(|P{P}^{\prime }|)\end{array}$$

  • 对两边同时除以$|P{P}^{\prime }|$

    • $$\begin{gathered} \frac{f(P^{\prime })-f(P)}{|P{P}^{\prime }|}=\frac{f_x(P_0)\Delta x+f_y(P_0)\Delta y+f_z(P_0)\Delta z+o(|P{P}^{\prime }|)}{|P{P}^{\prime }|} \\ =f_x(P_0)\cos \alpha +f_y(P_0)\cos \beta +f_z(P_0)\cos \gamma +\frac{o(|P{P}^{\prime }|)}{|P{P}^{\prime }|} \end{gathered}$$

  • 对两边取极限:

    • $$\begin{array}{rl}\frac{\partial f}{\partial l}=& \underset{P^{\prime }\to P_0}{\lim }\frac{f(P^{\prime })-f(P)}{|P{P}^{\prime }|}\\ =& \underset{P^{\prime }\to P_0}{\lim }\left(f_x(P_0)\cos \alpha +f_y(P_0)\cos \beta +f_z(P_0)\cos \gamma +\frac{o(|P{P}^{\prime }|)}{|P{P}^{\prime }|}\right)\\ =& f_x(P_0)\cos \alpha +f_y(P_0)\cos \beta +f_z(P_0)\cos \gamma \end{array}$$