数据结构 | 图

 最小生成树算法

Prime算法

算法思路：从已选顶点所关联的未选边中找出权重最小的边，并且生成树不存在环。

其中，已选顶点是构成最小生成树的结点，未选边是不属于生成树中的边。

例子：

第一步： 

 假设我们从顶点v1开始，所以我们可以发现（v1,v3）边的权重最小，所以第一个输出的边就是：v1—v3=1: 

 第二步：

 在v1,v3相关联的边中选一个权值最小的边，首先了（v1,v3）已经访问过了，所以我们从其他边中寻找，发现(v3,v6)这条边最小，所以输出边就是：v3—-v6=4 

然后，我们要从v1、v3、v6这三个点相关联的边中寻找一条权重最小的边，我们可以发现边(v6,v4)权重最小，所以输出边就是：v6—-v4=2. 

然后，我们就从v1、v3、v6、v4这四个顶点相关联的边中寻找权重最小的边，发现边（v3，v2）的权重最小，所以输出边：v3—–v2=5 

然后，我们就从v1、v3、v6、v4，v2这2五个顶点相关联的边中寻找权重最小的边，发现边（v2，v5）的权重最小，所以输出边：v2—–v5=3 

最后，我们发现六个点都已经加入到集合U了，我们的最小生成树建立完成。

Kruskal算法

算法思路： 
（1）将边按权值从小到大的顺序添加到新图中，保证添加的过程中不会形成环 

  (2）重复上一步直到连接所有顶点，此时就生成了最小生成树。这是一种贪心策略。

  (3)  n个顶点，n-1条边

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例子 ：

首先完整的图如下图： 

然后，我们需要从这些边中找出权重最小的那条边，可以发现边（v1，v3）这条边的权重是最小的，所以我们输出边：v1—-v3=1 

然后，我们需要在剩余的边中，再次寻找一条权重最小的边，可以发现边（v4，v6）这条边的权重最小，所以输出边：v4—v6=2 

然后，我们再次从剩余边中寻找权重最小的边，发现边（v2，v5）的权重最小，所以可以输出边：v2—-v5=3， 

然后，我们使用同样的方式找出了权重最小的边：（v3，v6），所以我们输出边：v3—-v6=4 

好了，现在我们还需要找出最后一条边就可以构造出一颗最小生成树，但是这个时候我们有三个选择：（v1,V4），（v2，v3），（v3，v4）,这三条边的权重都是5，首先我们如果选（v1，v4）的话，得到的图如下： 
 
我们发现，这肯定是不符合我们算法要求的，因为它出现了一个环，所以我们再使用第二个（v2，v3）试试，得到图形如下： 

我们发现，这个图中没有环出现，而且把所有的顶点都加入到了这颗树上了，所以（v2，v3）就是我们所需要的边，所以最后一个输出的边就是：v2—-v3=5

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拓扑排序

首先建立（n个顶点的）AOV网

   (1) 在AOV网络中选一个没有直接前驱的顶点（入度为0的顶点），并输出之；

（2）从途中删去该顶点，同时删去所有它发出的边；

    重复（1）和（2），直到全部顶点均已输出，拓扑有序序列形成，拓扑排序完成；

若图中还有未输出的顶点，但已跳出处理循环，这说明图中存在环；

 

 AOV网络（Activity On VertexNetwork）

不能出现有向回路，即有向环。在AOV网络中如果出现了有向环，则意味着某项活动应以自己作为先决条件。

 

 关键路径

 

最早最晚时间：

（1）事件vk的最早发生时间ve(k)：决定了所有从vk开始的活动能够开工的最早时间；

（2）活动ai的最早开始时间e(i)：指该活动弧的起点所表示的事件的最早发生时间；

（3）事件vk的最迟发生时间vl(k)：指在不推迟整个工程完成的前提下，该事件最迟必须发生的时间；

  若一个活动的时间余量为0，则说明该活动必须要如期完成，d(i)=0即l(i)=e(i)的活动ai是关键活动，由关键活动组成的路径就是关键路径。

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步骤：
（1）求所有事件的最早发生时间ve()；

（2）求所有事件的最迟发生时间vl()；

（3）求所有活动的最早发生事件e()；

（4）求所有活动的最迟发生时间l()；

（5）求所有活动的时间余量d()；

（6）d(i)=0的就是关键活动，所有关键活动组成的路径即为关键路径。

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ve(源点）等于0，vl(源点）需要自己算

ve(汇点)=vl(汇点) 需要自己算