【学习笔记】插值之拉格朗日插值（Lagrange）

0 插值介绍

插值法是广泛应用于理论研究和工程实际的重要数值方法。用提供的部分离散的函数值来进行理论分析和设计都是极不方便的，因此希望能够用一个既能反映原函数特征，又便于计算的简单函数去近似原函数。

1 低次拉格朗日插值

定理：设$x_0$,$\cdots$,$x_n$是互异插值节点，则满足差值条件$p(x_i)=y_i(i=0,1,2,\cdots ,n)$的插值多项式$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n$是存在且唯一的。
证明：由条件可知，$p(x)$的系数$a_i$满足
$$\{\begin{array}{c}{a}_0+a_1{x}_0+\cdots +a_n{x}_0=y_0\\ a_0+a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_1=y_1\\ ⋮\\ a_0+a_1{x}_n+\cdots +a_n{x}_n=y_n\end{array}$$
这是一个关于$a_0,a_1,\cdots ,a_n$的$n+1$元线性方程组，并注意到其系数行列式为一个范德蒙行列式，又由于$i\ne j$时$x_i\ne x_j$，于是，方程组唯一解。

以上定理的证明提供了一个求$p(x)$的方法，这就是解方程组。但当$n$较大时，这是很困难的。对于给定的插值点，求形如$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n$的插值多项式有不同的方法。

1.1 n=1时插值方法

先讨论$n=1$的简单情况，互异插值点$x_0,x_1$上的函数值分别为$f(x_0),f(x_1)$是已知的，通过两点$(x_0,f(x_0))$及$(x_1,f(x_1))$的插值多项式是一条直线，即两点式
$$L_1(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}f(x_0)+\frac{x-x_0}{x_1-x_0}f(x_1)$$
显然，$L_1(x_0)=f(x_0),L_1(x_1)=f(x_0)$，满足插值条件，所以$L_1(x)$就是线性插值多项式。若记$l_0(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}$，$l_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}$，则称$l_0(x),l_1(x)$为关于$x_0$与$x_1$的线性插值基函数。

于是有
$$L_1(x)=l_0(x)f(x_0)+l_1(x)f(x_1)$$

1.2 n=2时插值方法

当$n=2$时，给定互异插值点$x_0,x_1,x_2$上的函数值分别为
$$f(x_0),f(x_1),f(x_2)$$
$$l_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)},$$
$$l_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)},$$
$$l_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$$
称为关于点$x_0,x_1,x_2$的二次插值基函数，它满足
$$l_i(x_j)=\{\begin{array}{c}1,j=i\\ 0,j\ne i\end{array},i,j=0,1,2,\cdots$$
满足条件的$L_2(x_i)=f(x_i)(i=0,1,2)$的二次插值多项式$L_2(x)$可表示为
$$L_2(x)=l_0(x)f(x_0)+l_1(x)f(x_1)+l_2(x)f(x_2)$$
$y=L_2(x)$的图形是通过三点$(x_1,f(x_i))(i=0,1,2)$的抛物线。

1.3 举例

$x$	1	4	9	16
$\sqrt{x}$	1	2	3	4

解：
选择与$x=5$最接近的三点$x_0=1,x_1=4,x_2=9$为插值点，由
$$L_2(x)=l_0(x)f(x_0)+l_1(x)f(x_1)+l_2(x)f(x_2)$$
得，$\sqrt{5}\approx 1\cdot \frac{(5-4)(5-9)}{(1-4)(1-9)}+2\cdot \frac{(5-1)(5-9)}{(4-1)(4-9)}+3\cdot \frac{(5-1)(5-4)}{(9-1)(9-4)}\approx 2.267$