希尔伯特和包络变换

一、希尔伯特变换

Hilbert Transform，数学定义：在数学与信号处理的领域中，一个实值函数的希尔伯特变换是将信号x(t)与h(t)=1/(πt)做卷积，以得到其希尔伯特变换。因此，希尔伯特变换结果可以理解为输入是x(t)的线性时不变系统(linear time invariant system)的输出响应，而此系统的脉冲响应为h(t)=1/(πt)。

从频谱上来看，希尔伯特变换将我们的原始信号的正频率部分乘以 -j，负频率部分乘以 j。即保持幅度不变的条件下，将正频率移相-90°，而对于负频率成分移相90°。

二、其意义和作用

要明白希尔伯特变换，首先要弄明白实信号和复信号。
实信号：物理可实现的信号常常是时间t（或k）的实函数（或序列），其在各时刻的函数（或序列）值为实数，这样的信号称为实信号。
复信号：函数（或序列）值为复数的信号称为复信号，最常用的是复指数信号。复指数信号对时间的导数和积分仍然是复指数信号。
复信号f(t)=Re[f(t)]+jIm[f(t)]可以理解为实信号Re[f(t)]与虚信号jIm[f(t)]的组合。在前者为余弦后者为正弦时，会形成一条螺旋的曲线。即单纯的实信号和虚信号是一个相对时间参数的二维的曲线，但二者结合在一起即为一个相对时间参数的三维曲线。
在实际的信号中，只有实信号没有虚信号（复信号），即物理上只发送实信号不会发送虚信号，但为什么 实际的工作中，大量都以复信号工作而不以实信号工作呢？原因很简单，复信号可以更好的处理信号数据。那么如何从实信号得到复信号呢，其实就是把实信号做希尔伯特变换，即为复信号的虚部，实信号做实部加上求出来的虚部，OK，问题解决。
1、物理意义：
物理意义很明确，就是把信号所有频率分量相位推迟90度（二分之派）。
2、解析信号的意义：
希尔伯特变换，将一维的实信号变为二维复平面上的解析信号，其复数的模和幅角分别代表了信号的幅度和相位，即解析信号可以计算包络（瞬时振幅）和瞬时相位，进而求得瞬时频率。
3、作用：
用来构建解析信号，使信号频谱仅含有正频率成分，从而降低信号的抽样率；可以用来表示带通信号，从而为无线电通信中的信号调制提供了一种方法；与其他变换及分解结合在一起，进行非平稳信号的频谱分析。

三、包络变换

包络定理在不同的领域有不同的定义（数学、经济），在电子领域的定义为：一个高频调幅信号，它幅度是按低频调制信号变化的。如果把高频调幅信号的峰点连接起来，就可以得到一个与低频调制信号相对应的曲线。这条曲线就是包络线。简单理解为就是一种趋势方向。
包络定理（Envelope Theorem）：

包络定理 可以 理解为“某参数对目标函数最大值的影响等于拉格朗日函数对该参数求偏导数的最优解”。

四、物理意义和作用

同样，想弄清楚包络变换，得先明白球面波。先看一下惠更斯定理：
一个波阵面的每个点（面源）可各看做是一个产生球面子波的次级球面波的中心波源，次级波源的波速与频率等于初级波的波速与频率；而且，以后任何时刻波阵面的位置是所有这种子波的包络面。
知道了这一点，就可以知道包络变换的作用了，就是求出子波在球面波上的曲线（二维平面）。在数学上经常有一种题就是求一个三角形延着一个圆运行某个顶点的曲线，其实这就类似于包络变换，三角形的运动形成一个面的变化，但只求一个点的曲线。
一般情况下，拟合是包络的一种近似，即包络本身指的是信号的幅值曲线，而我们通过对信号极值点进行插值得到拟合曲线，进而将其视为信号的幅值曲线，即包络，但这是不严谨的，所以包络其实并没有明确的物理意义，这一点要清楚。
包络变换的作用就是求幅值曲线。

五、总结

对这些信号处理是基础入门，有些名词和算法不太清楚，所以找了些资料进行入门，学习一下信号的基础定义。实际的工作场景中有时会遇到，不求学得多深，只要一些基础的应用能看得明白即可。小白入门，可能有谬误之处，大家共同讨论进步。