科学与工程计算基础（数值计算）知识点总结

第1章 概论

1.2 数值计算中的误差

1.2.1 误差的来源和分类

误差类型	介绍	示例
模型误差	在建立数学模型过程中，要将复杂的现象抽象归结为数学模型，往往要忽略一些次要因素的影响，而对问题作一些简化，因此和实际问题有一定的区别。	地球的体积使用球体体积公式 v = 4/3 Π R3 来近似计算
观测误差	在建模和具体运算过程中所用的数据往往是通过观察和测量得到的，由于精度的限制，计算这些数据一般是近似的	观测地球半径R的值
截断误差（方法误差）	当数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差	使用泰勒公式来计算可微函数某点值，其截断误差为泰勒余项
舍入误差	由于计算机字长有限，原始数据在计算机上表示时产生的误差	Π 用 3.1415926 来近似、4/3 用 1.333333 来近似

1.2.2 误差与有效数字

误差	定义	示例
绝对误差（e*）	设 x 为准确值，x* 为 x 的一个近似值，称 e* = x* - x 为近似值的绝对误差，简称误差	一般无法测量出精确值，所以绝对误差一般无法表示
绝对误差限（ε*）	估计出绝对误差的一个上界 ε* ，即：| e* | = | x* - x | ≤ ε*	测量某物品的长度为 20 ± 0.5 cm，则其绝对误差限为 0.5 cm
相对误差（$e_r^{\ast }$）	$$\frac{绝对误差}{精确值}，即：e_r^{\ast }=\frac{e^{\ast }}{x}=\frac{x^{\ast }-x}{x}$$ 实际中精确值 x 是未知的，故常用 $$\frac{绝对误差}{近似值}，即：e_r^{\ast }=\frac{e^{\ast }}{x^{\ast }}=\frac{x^{\ast }-x}{x^{\ast }}$$	当 $e_r^{\ast }$ 较小时，此时 $$是e_r^{\ast }的平方项级，故可以忽略不计，所以可以使用\frac{e^{\ast }}{x^{\ast }}代替\frac{e^{\ast }}{x}$$
相对误差限（${\epsilon }_r^{\ast }$）	相对误差的上界${\epsilon }_r^{\ast }$，即：$${\epsilon }_r^{\ast }=\frac{{\epsilon }^{\ast }}{|x^{\ast }|}$$	测量某物品的长度为 20 ± 0.5 cm，则其相对误差限为 2.5%

	有效数字	示例
定义		对于 Π=3.1415926… ，x* = 3.14有3位有效数字；x* = 3.1416 则有5为有效数字；而 x* = 3.1415 则只有4为有效数字，其误差超过了5所在位置的半个单位，而不超过1所在的位置的半个单位，故只有4位有效数字。
科学计数表示		12300 有5位有效数字，如果写成 1.23 × 104 则只有3位有效数字。
定理

1.2.3 数值运算的误差估计

函数	（绝对）误差限 ${\epsilon }^{\ast }(f)\approx$	相对误差限 ${\epsilon }_r^{\ast }(f)\approx$
一元函数 f(x)	| f(x)’ | ε*(x)	ε*( f(x) ) / f(x)
多元函数 f(x1, …, xn)	$$\sum _1^n|\frac{\partial f}{\partial x_i}|{\epsilon }^{\ast }(x_i)$$	ε*( f(x1, …, xn) ) / f(x1, …, xn)

示例：

1.3 误差定性分析和避免误差危害

1.3.1 算法的数值稳定性

问题	描述
不稳定算法
病态方程组

1.3.3 避免误差危害

问题	描述	措施
大数吃小数
相近数相减		$$例如：1-cos(\epsilon )=2si{n}^2(\frac{\epsilon }{2});$$
除小数和乘大数		尽量避免

1.4 数值计算中算法设计的技术

算法	示例
快速幂算法
秦九韶算法

1.5 习题

1.5.1 判断题

1. 解对数据的微小变化高度敏感是病态的。【对】
2. 高精度运算可以改善问题的病态性。【错，病态是问题本身固有的，无法通过提高精度运算来改善】
3. 无论问题是否病态，只要算法稳定都能得到好的近似值。【错，只有良态情况下，稳定的算法才有可能得到好的近似值】
4. 用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。【错，得到好的近似值还与初始值的选取有关，例如：牛顿法】
5. 用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。【错，得到好的近似值还与初始值的选取有关，例如：牛顿法】
6. 两个相近数相减必然会使有效数字损失。【错，只是大多情况下会使有效数字损失】
7. 计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是样的。【错，可能发生大数吃小数情况】

1.5.2 计算题

1. 设 x > 0，x 的相对误差为δ，求ln x的误差。
2. 设 x 的相对误差为2%，求 xⁿ 的相对误差。
3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：
     $x_1^{\ast }$= 1.1021，$x_2^{\ast }$= 0.031，$x_3^{\ast }$= 385.6，$x_4^{\ast }$= 56.430，$x_5^{\ast }$=7 × 1.0
4. 求下列各近似值的误差限：
   （1）$x_1^{\ast }+x_2^{\ast }+x_4^{\ast }$
   （2）$x_1^{\ast }{x}_2^{\ast }{x}_3^{\ast }$
   （3）$x_2^{\ast }/x_4^{\ast }$
   其中$x_1^{\ast }，x_2^{\ast }，x_3^{\ast }，x_4^{\ast }$均为第3题所给的数。
5. 计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？
6. 正方形的边长大约为100 cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1 cm² ?
7. 计算$f=(\sqrt{2}-1{)}^6$，取$\sqrt{2}\approx 1.4$，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？
   $$\frac{1}{(\sqrt{2}+1{)}^6}，(3-2\sqrt{2}{)}^3$$
   $$\frac{1}{(3+2\sqrt{2}{)}^3}，99-70\sqrt{2}$$

第2章 插值法

2.2 拉格朗日插值

2.3 牛顿插值

2.4 埃尔米特插值

2.5 分段低次插值

2.6 三次样条插值

第3章 函数逼近与快速傅里叶变换

3.4 曲线拟合的最小二乘法

第4章 数值积分与数值微分

4.1 数值积分概论

4.2 牛顿-柯特斯公式

4.3 复合求积公式

4.4 龙贝格求积公式

4.5 自适应积分方法

4.6 高斯求积公式

第5章 解线性方程组的直接方法

5.2 高斯消去法

5.3 矩阵三角分解法

5.4 向量和矩阵范数

5.5 误差分析

第6章 解线性方程组的迭代法

6.2 雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法

6.3 超松弛迭代法

第7章 非线性方程与方程组的数值解法

7.1 方程求根与二分法

7.2 不动点迭代法及其收敛性

7.3 迭代收敛的加速方法

7.4 牛顿法

第9章 常微分方程初值问题数值解法

9.2 简单的数值方法