力扣hot100 最大子数组和 动态规划 分治 无后效性 子问题划分

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无后效性

为了保证计算子问题能够按照顺序、不重复地进行，动态规划要求已经求解的子问题不受后续阶段的影响。这个条件也被叫做「无后效性」。换言之，动态规划对状态空间的遍历构成一张有向无环图，遍历就是该有向无环图的一个拓扑序。有向无环图中的节点对应问题中的「状态」，图中的边则对应状态之间的「转移」，转移的选取就是动态规划中的「决策」。

关键 1：理解题意

题目要我们找出和最大的连续子数组的值是多少，「连续」是关键字，连续很重要，不是子序列。

题目只要求返回结果，不要求得到最大的连续子数组是哪一个。这样的问题通常可以使用「动态规划」解决。

关键 2：如何定义子问题（如何定义状态）

设计状态思路：把不确定的因素确定下来，进而把子问题定义清楚，把子问题定义得简单。动态规划的思想通过解决了一个一个简单的问题，进而把简单的问题的解组成了复杂的问题的解。

🍻 DP

public class Solution {public int maxSubArray(int[] nums) {int n = nums.length;int[] f = new int[n];// 记录nums[i]结尾的最大连续数组和f[0] = nums[0];int ans = f[0];for (int i = 1; i < n; i++){f[i] = Math.max(f[i - 1] + nums[i], nums[i]);ans = Math.max(ans, f[i]);}return ans;}
}

🍻 DP优化空间

public class Solution {public int maxSubArray(int[] nums) {int pre = 0;int res = nums[0];for (int num : nums) {pre = Math.max(pre + num, num);res = Math.max(res, pre);}return res;}
}

🍻 分治

public class Solution {public int maxSubArray(int[] nums) {int len = nums.length;if (len == 0) {return 0;}return maxSubArraySum(nums, 0, len - 1);}private int maxCrossingSum(int[] nums, int left, int mid, int right) {// 一定会包含 nums[mid] 这个元素int sum = 0;int leftSum = Integer.MIN_VALUE;// 左半边包含 nums[mid] 元素，最多可以到什么地方// 走到最边界，看看最值是什么// 计算以 mid 结尾的最大的子数组的和for (int i = mid; i >= left; i--) {sum += nums[i];if (sum > leftSum) {leftSum = sum;}}sum = 0;int rightSum = Integer.MIN_VALUE;// 右半边不包含 nums[mid] 元素，最多可以到什么地方// 计算以 mid+1 开始的最大的子数组的和for (int i = mid + 1; i <= right; i++) {sum += nums[i];if (sum > rightSum) {rightSum = sum;}}return leftSum + rightSum;}private int maxSubArraySum(int[] nums, int left, int right) {if (left == right) {return nums[left];}int mid = left + (right - left) / 2;return max3(maxSubArraySum(nums, left, mid),maxSubArraySum(nums, mid + 1, right),maxCrossingSum(nums, left, mid, right));}private int max3(int num1, int num2, int num3) {return Math.max(num1, Math.max(num2, num3));}
}

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