证明E(X+Y) =E(X) + E(Y)

E(X+Y) =E(X) + E(Y)的成立是不需要X和Y相互独立的！！！

离散型随机变量

E ( X + Y ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m ( x i + y j ) P { X = x i , Y = y j } = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m x i P { X = x i , Y = y j } + ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m y j P { X = x i , Y = y j } = ∑ i = 1 n x i ∑ j = 1 m P { X = x i , Y = y j } + ∑ i = 1 n y j ∑ j = 1 m P { X = x i , Y = y j } = ∑ i = 1 n x i P { X = x i } + ∑ i = 1 n y j P { Y = y j } = E ( X ) + E ( Y ) \begin{align*} E(X+Y) &= \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(x_i+y_j)P\{X=x_i,Y=y_j\}\\ &= \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}x_iP\{X=x_i,Y=y_j\}+ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}y_jP\{X=x_i,Y=y_j\}\\ &=\sum_{i=1}^{n}x_i\sum_{j=1}^{m}P\{X=x_i,Y=y_j\}+\sum_{i=1}^{n}y_j\sum_{j=1}^{m}P\{X=x_i,Y=y_j\}\\ &=\sum_{i=1}^{n}x_iP\{X=x_i\}+\sum_{i=1}^{n}y_jP\{Y=y_j\}\\ &=E(X)+E(Y) \end{align*} E(X+Y)​=i=1∑n​j=1∑m​(xi​+yj​)P{X=xi​,Y=yj​}=i=1∑n​j=1∑m​xi​P{X=xi​,Y=yj​}+i=1∑n​j=1∑m​yj​P{X=xi​,Y=yj​}=i=1∑n​xi​j=1∑m​P{X=xi​,Y=yj​}+i=1∑n​yj​j=1∑m​P{X=xi​,Y=yj​}=i=1∑n​xi​P{X=xi​}+i=1∑n​yj​P{Y=yj​}=E(X)+E(Y)​

连续型随机变量

$$\begin{array}{rl}E(X+Y)& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }(x+y)p(x,y)dxdy\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }xp(x,y)dxdy+{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }yp(x,y)dxdy\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }xdx{\int }_{-\infty }^{+\infty }p(x,y)dy+{\int }_{-\infty }^{+\infty }ydy{\int }_{-\infty }^{+\infty }p(x,y)dx\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }x{f}_X(x)dx+{\int }_{-\infty }^{+\infty }y{f}_Y(y)dy\\ & =E(X)+E(Y)\end{array}$$

其实离散型随机变量和连续型随机变量推导的思路是一摸一样的，只不过一个是求和一个是积分而已。需要注意的是，我们并不需要知道联合概率分布 P { X = x i , Y = y j } P\{X=x_i,Y=y_j\} P{X=xi​,Y=yj​}或联合概率密度$p(x,y)$，而是在过程中计算出边缘分布，这里其实可以体会到边缘分布在推导中带来的作用。

这个公式虽然非常简单，但是非常重要，因为它是一系列期望，方差，协方差公式推导的基础。