SIFI 极值点拟合的详细推导过程

在获得高斯差分金字塔之后，我们可以根据邻近尺度和邻近像素一共 26 个像素点的灰度值和中心像素点的灰度值比较，如果中心像素点的值是最大或者最小的，则作为极值点保留下来。

但是我们知道像素是网格排布的，也就是说是离散的，如果我们想要获得更精确的极值点，就需要根据目前离散的点进行插值拟合，让数据连续起来，然后得到一个比较精确的极值点。

给我的感觉就是 SIFT 算法经历了一个从连续到离散，然后再回归连续的过程，首先是通过离散的高斯差分来近似表示拉普拉斯梯度，减少计算量，然后又对离散的高斯差分进行子像元级别的插值，获得一个连续的曲面，求真正的极值点。

首先，我们的高斯差分函数是通过通过不同尺度的高斯滤波得到的：$$D(x,y,\sigma )=[G(x,y,{\sigma }_1)-G(x,y,{\sigma }_2)]\ast I(x,y)$$其中，$I(x,y)$ 是像素的灰度值。

然后在尺度 $\sigma$ 下，我们要从离散的高斯差分插值到连续的曲面，需要用到泰勒展开，因为泰勒展开是一种将函数在某一点附近近似为多项式的方法，通过使用一阶和二阶导数来拟合函数。所以可以得到：$$D(X)\approx D+\frac{\partial D^T}{\partial X}X+\frac{1}{2}{X}^T\frac{{\partial }^{2}D}{\partial X^2}X$$这个公式在别的文章很常见，但是我觉得不够直观，因为是尺度已经确定了是 $\sigma$ 所以高斯差分函数目前是关于位置 $x,y$ 的函数，上面的式子是一个矩阵的形式，因为要求极值，所以要对 $D(X)$ 求导，并让其导数 $\frac{\partial D}{\partial X}=0$ ：$$\frac{\partial D}{\partial X}=0+\frac{\partial D^T}{\partial X}+\frac{1}{2}\left(\frac{{\partial }^{2}D}{\partial X^2}+{\left(\frac{{\partial }^{2}D}{\partial X^2}\right)}^T\right)X$$考虑到 $\frac{{\partial }^{2}D}{\partial X^2}$ 是 Hessian 矩阵，展开表达式如下：$$\frac{{\partial }^{2}D}{\partial X^2}=\left(\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}D}{\partial x^2}& \frac{{\partial }^{2}D}{\partial x\partial y}\\ \frac{{\partial }^{2}D}{\partial x\partial y}& \frac{{\partial }^{2}D}{\partial y^2}\end{array}\right)$$可以看出来是对称矩阵，所以$\frac{{\partial }^{2}D}{\partial X^2}=(\frac{{\partial }^{2}D}{\partial X^2}{)}^T$，我们就可以得到求导之后的式子为：$$\frac{\partial D}{\partial X}=\frac{\partial D^T}{\partial X}+\frac{{\partial }^{2}D}{\partial X^2}X$$让导数 $\frac{\partial D}{\partial X}$ 为零可以得到：$$\hat{X}=\frac{\partial D^T}{\partial X}{\left(-\frac{{\partial }^{2}D}{\partial X^2}\right)}^{-1}$$这里的 $\hat{X}$ 就是我们要求的极值点偏移值，然后将其代入原式，就可以求得极值点的响应值：$$D(X)=D+\frac{1}{2}\frac{\partial D^T}{\partial X}\hat{X}$$

$$\frac{\partial }{\partial X}(X^{T}AX)=(A+A^T)X$$