【视觉SLAM十四讲学习笔记】第三讲——旋转向量和欧拉角

专栏系列文章如下：
【视觉SLAM十四讲学习笔记】第一讲——SLAM介绍
【视觉SLAM十四讲学习笔记】第二讲——初识SLAM
【视觉SLAM十四讲学习笔记】第三讲——旋转矩阵

本章将介绍视觉SLAM的基本问题之一：如何描述刚体在三维空间中的运动？

旋转向量

矩阵表示方式至少有一下两个缺点：

1. SO(3)的旋转矩阵有9个量，但一次旋转只有3个自由度。因此这种表达方式是冗余的。同理，变换矩阵用16个量表达了6自由度的变换。
2. 旋转矩阵自身带有约束：它必须是个正交矩阵，且行列式为 1。变换矩阵也是如此。当想要估计或优化一个旋转矩阵/变换矩阵时，这些约束会使得求解变得更困难。

因此，我们希望有一种方式能够紧凑地描述旋转和平移。例如，用一个三维向量表达旋转，用六维向量表达变换。事实上，任意旋转都可以用一个旋转轴和一个旋转角来刻画。于是，我们可以使用一个向量，其方向与旋转轴一致，而长度等于旋转角。这种向量称为旋转向量（或轴角/角轴，Axis-Angle），只需一个三维向量即可描述旋转。同样，对于变换矩阵，我们使用一个旋转向量和一个平移向量即可表达一次变换。这时的变量维数正好是六维。

考虑某个用R表示的旋转。如果用旋转向量来描述，假设旋转轴为一个单位长度的向量n，角度为 θ，那么向量 θn也可以描述这个旋转。

从旋转向量到旋转矩阵的转换过程由罗德里格斯公式（Rodrigues’s Formula ）表明，转换的结果 ：

符号∧是向量到反对称矩阵的转换符。反之，我们也可以计算从一个旋转矩阵到旋转向量的转换。对于转角 θ，取两边的迹（矩阵对角线元素之和），有

因此：

关于转轴n，由于旋转轴上的向量在旋转后不发生改变，说明：

因此，转轴n是矩阵R特征值1对应的特征向量。求解此方程，再归一化，就得到了旋转轴。也可以从“旋转轴经过旋转之后不变”的几何角度看待这个方程。

欧拉角

无论是旋转矩阵、旋转向量，它们虽然能描述旋转，但对我们人类是非常不直观的。当我们看到一个旋转矩阵或旋转向量时，很难想象出这个旋转究竟是什么样的。当它们变换时，我们也不知道物体是向哪个方向在转动。而欧拉角则提供了一种非常直观的方式来描述旋转——它使用了3个分离的转角，把一个旋转分解成 3 次绕不同轴的旋转。而人类很容易理解绕单个轴旋转的过程。

但是，由于分解方式有许多种，所以欧拉角也存在着众多不同的、易于混淆的定义方法。比如说，先绕X轴旋转，再绕Y轴，最后绕Z轴，就得到了一个XYZ轴的旋转。同理，可以定义ZYZ、ZYX等旋转方式。如果讨论得更细一些，还需要区分每次是绕固定轴旋转的，还是绕旋转之后的轴旋转的。这种定义方式上的不确定性带来了很多实用当中的困难。

欧拉角当中比较常用的一种，便是用“偏航−俯仰−滚转”（yaw-pitch-roll）3个角度来描述一个旋转。它等价于ZYX轴的旋转。假设一个刚体的前方（朝向我们的方向）为X轴，右侧为Y轴，上方为Z轴。那么，ZYX转角相当于把任意旋转分解成以下3个轴上的转角：

1. 绕物体的Z轴旋转，得到偏航角 yaw；

2. 绕旋转之后的Y轴旋转，得到俯仰角 pitch；

3. 绕旋转之后的 X 轴旋转，得到滚转角 roll。

此时，可以使用 [r,p,y]T 这样一个三维的向量描述任意旋转。

欧拉角的一个重大缺点是会碰到万向锁问题（Gimbal Lock ）：在俯仰角为 ±90◦时，第一次旋转与第三次旋转将使用同一个轴，使得系统丢失了一个自由度（由 3 次旋转变成了 2 次旋转）。这被称为奇异性问题，只要想用3个实数来表达三维旋转时，都会不可避免地碰到奇异性问题（旋转向量也有奇异性，发生在转角θ超过2Π而产生周期性时）。

由于这种问题，欧拉角不适于插值和迭代，往往只用于人机交互中。我们很少在SLAM程序中直接使用欧拉角表达姿态，同样不会在滤波或优化中使用欧拉角表达旋转，因为它具有奇异性。如果想验证自己的算法是否有错，转换成欧拉角能够帮你快速分辨结果是否正确。