原点处可微问题

原点可微问题

• $\underset{x\to 0,y\to 0}{\lim }\frac{f(x,y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}$=$0$(1)是函数$f(x,y)$在$(0,0)$点可微(1-1)的充分条件但非必要条件
  • 考虑到${\rho }_{(0,0)}$=$\sqrt{x^2+y^2}$(2),由式(1)可知,$\underset{x\to 0,y\to 0}{\lim }\frac{f(x,y)-f(0,0)}{\rho }$=$0$(3),由无穷小的阶的定义可知,$f(x,y)-f(0,0)$=$o(\rho )$(4),等号左边是$\rho$的高阶无穷小
  • 由点处可微的定义:$f(x,y)-f(x_0,y_0)$=$A\mathrm{d}x+B\mathrm{d}y+o(\rho )$(5),其中$x_0=y_0=0$,从而公式可以改写为:$f(x,y)-f(0,0)$=$Ax+By+o(\rho )$(6)
  • 比较式(4,6)可以发现式(4)是式(6)中$A=B=0$(6-0)的情形,因此由(1)可以推出函数$f(x,y)$在(0,0)处可微(6-1),并且$f_x(0,0)$=$f_y(0,0)$=$0$(6-2)
  • 反之,若有(6-1),则有式(6)成立,但是不一定有式(4)成立,也不一定有(1)成立
    • 例如取函数$f(x,y)$=$x$,该函数在$(0,0)$点处可微(满足充分条件),而该函数代入式(1),可得$\underset{x\to 0,y\to 0}{\lim }\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$,这个极限不存在,例如沿着$y=0$时,就可以发现极限式等于$\underset{x\to 0,y\to 0}{\lim }\frac{x}{|x|}$不存在(因为可能取$\pm 1$,不唯一,就不存在),自然就不满足式(1)
  • 若(6-1)的基础上再附加条件$f_x(0,0)$=$f_y(0,0)$=$0$,则能推出(1),因为$A=f_x(0,0)$,$B=f_y(0,0)$,将(1)代入(6),即得(4),即有(1),这就构成了充要条件
  • 即当(6-2)时,(6)和(1)是等价的
• 拓展:若式(1)改为$\underset{x\to 0,y\to 0}{\lim }\frac{f(x,y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}=a\ne 0$(8),则没有(4),并且可以得出$f(x,y)$在$(0,0)$点处不可微(9);另一方面,由(9)推不出(8)

例

• $f(x,y)$=$xy\sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$,$(x,y)\ne (0,0)$;$f(x,y)$=$0$,$(x,y)=(0,0)$
  • $A$=$\underset{x\to 0,y\to 0}{\lim }\frac{f(x,y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}$=$\underset{x\to 0,y\to 0}{\lim }\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}$=$0$,立马可以判断处$f(x,y)$在$(0,0)$处可微
  • 其中$A$=$\underset{x\to 0,y\to 0}{\lim }\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$,其中$A_1$=$\underset{x\to 0,y\to 0}{\lim }\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$=$0$,
    • 可以用夹逼的方式求:$0⩽|\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}|$=$|\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}||y|$ $⩽$ $|y|$,而$\underset{x\to 0,y\to 0}{\lim }|y|=0$所以$\underset{x\to 0,y\to 0}{\lim }|\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}|=0$,所以$A_1$=0
    • 从量级上粗略判断:$xy$和$\sqrt{x^2+y^2}$分别相当于$2$次和1次项,因此分子的阶更高,极限结果为0
    • 而$\sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$是有界函数,从而$A$=0

例

• $f(x,y)$=$\frac{x^{2}y}{x^2+y^2}$,$(x,y)\ne (0,0)$;$f(x,y)=0$,$(x,y)=(0,0)$
  • $A$=$\underset{x\to 0,y\to 0}{\lim }\frac{f(x,y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}$=$\underset{x\to 0,y\to 0}{\lim }\frac{x^{2}y}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}$,简便判断分子分母都是3次项的量级(同量级),因此极限不存在(可取路径$y=x$判断)
  • 而$f_x(0,0)$=$f_y(0,0)$=$0$,而$A$不存在,所以$f(x,y)$在(0,0)处不可微
    • 求$f_x(0,0)$,可以先代入$y=0$后求对$x$偏导,即对$f(x,0)$对$x$求导
    • 而$f(x,0)$=$\{\begin{array}{ll}0& x\ne 0\\ 0& x=0\end{array}$=$0$,说明$f(x,0)$是个恒0常数函数,类似的,$f(0,y)$也是恒0常数函数
    • 所以$f_x(0,0)$=$f(x,0{)}^{\prime }$=$0$
    • $f_y(0,0)$=$f^{\prime }(0,y)$=$0$