算法(3)——二分查找

一、什么是二分查找

二分查找也称折半查找，是在一组有序(升序/降序)的数据中查找一个元素，它是一种效率较高的查找方法。

二、二分查找的原理

1、查找的目标数据元素必须是有序的。没有顺序的数据，二分法就失去意义。

2、数据元素通常是数值型，可以比较大小。

3、将目标元素和查找范围的中间值做比较（如果目标元素=中间值，查找结束），将目标元素分到较大/或者较小的一组。

4、通过分组，可以将查找范围缩小一半。

5、重复第三步，直到目标元素=新的范围的中间值，查找结束。

三、二分查找模板 

1、朴素二分查找模板

2、一般二分查找模板

四、二分查找经典OJ题

4、1 二分查找

704. 二分查找 - 力扣（LeetCode）

1、题目描述

2、算法思路

a. 定义 left ， right 指针，分别指向数组的左右区间。

b. 找到待查找区间的中间点 mid ，找到之后分三种情况讨论：

        i. arr[mid] == target 说明正好找到，返回 mid 的值

        ii. arr[mid] > target 说明 [mid, right] 这段区间都是⼤于 target 的，因此舍去右边区间，在左边 [left, mid -1] 的区间继续查找，即让 right = mid - 1 ，然后重复 2 过程；

        iii. arr[mid] < target 说明 [left, mid] 这段区间的值都是⼩于 target 的，因此舍去左边区间，在右边 [mid + 1, right] 区间继续查找，即让 left = mid + 1 ，然后重复 2 过程；

c. 当 left 与 right 错开时，说明整个区间都没有这个数，返回 -1 。

3、算法代码

class Solution {
public:int search(vector<int>& nums, int target) {int left=0,right=nums.size()-1;while(left<=right){int mid=left+(right-left)/2;if(nums[mid]>target){right=mid-1;}else if(nums[mid]<target){left=mid+1;}else{return mid;}}return -1;}
};

4、2 在排序数组中查找元素的第⼀个和最后⼀个位置

34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 - 力扣（LeetCode）

1、题目描述：

2、算法思路：

⽤的还是⼆分思想，就是根据数据的性质，在某种判断条件下将区间⼀分为⼆，然后舍去其中⼀个

区间，然后再另⼀个区间内查找；

⽅便叙述，⽤ x 表⽰该元素， resLeft 表⽰左边界， resRight 表⽰右边界。

寻找左边界：

◦ 我们注意到以左边界划分的两个区间的特点：

▪ 左边区间 [left, resLeft - 1] 都是⼩于 x 的；

▪ 右边区间（包括左边界） [resLeft, right] 都是⼤于等于 x 的；

• 因此，关于 mid 的落点，我们可以分为下⾯两种情况：

◦ 当我们的 mid 落在 [left, resLeft - 1] 区间的时候，也就是 arr[mid] < target 。说明 [left, mid] 都是可以舍去的，此时更新 left 到 mid + 1 的位置， 继续在 [mid + 1, right] 上寻找左边界；

◦ 当 mid 落在 [resLeft ， right] 的区间的时候，也就是 arr[mid] >= target 。 说明 [mid + 1, right] （因为 mid 可能是最终结果，不能舍去）是可以舍去的，此时 更新 right 到 mid 的位置，继续在 [left, mid] 上寻找左边界；

• 由此，就可以通过⼆分，来快速寻找左边界；

注意：这⾥找中间元素需要向下取整。

因为后续移动左右指针的时候：

• 左指针： left = mid + 1 ，是会向后移动的，因此区间是会缩⼩的；

• 右指针： right = mid ，可能会原地踏步（⽐如：如果向上取整的话，如果剩下 1,2 两个元

素， left == 1 ， right == 2 ， mid == 2 。更新区间之后， left ， right ， mid 的 值没有改变，就会陷⼊死循环）。

因此⼀定要注意，当 right = mid 的时候，要向下取整。

寻找右边界思路：

◦ ⽤ resRight 表⽰右边界；

◦ 我们注意到右边界的特点：

▪ 左边区间 （包括右边界） [left, resRight] 都是⼩于等于 x 的；

▪ 右边区间 [resRight+ 1, right] 都是⼤于 x 的；

• 因此，关于 mid 的落点，我们可以分为下⾯两种情况：

◦ 当我们的 mid 落在 [left, resRight] 区间的时候，说明 [left, mid - 1](mid 不可以舍去，因为有可能是最终结果） 都是可以舍去的，此时更新 left 到 mid 的位置；

◦ 当 mid 落在 [resRight+ 1, right] 的区间的时候，说明 [mid, right] 内的元素 是可以舍去的，此时更新 right 到 mid - 1 的位置；

• 由此，就可以通过⼆分，来快速寻找右边界；

注意：这⾥找中间元素需要向上取整。

因为后续移动左右指针的时候：

• 左指针： left = mid ，可能会原地踏步（⽐如：如果向下取整的话，如果剩下 1,2 两个元

素， left == 1 ， right == 2 ， mid == 1 。更新区间之后， left ， right ， mid 的值 没有改变，就会陷⼊死循环）。

• 右指针： right = mid - 1 ，是会向前移动的，因此区间是会缩⼩的； 因此⼀定要注意，当 right = mid 的时候，要向下取整。

3、算法代码

class Solution {
public:vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {int begin=0;if(nums.size()==0) return {-1,-1};int left=0,right=nums.size()-1;while(right>left)   //找左端点{int mid=left+(right-left)/2;if(nums[mid]<target) left=mid+1;else right=mid;}if(nums[left]!=target) return {-1,-1};else begin=left;left=0,right=nums.size()-1;while(right>left){int mid=left+(right-left+1)/2;if(nums[mid]<=target) left=mid;else right=mid-1;}return {begin,right};}
};

4、3 搜索插入位置

35. 搜索插入位置 - 力扣（LeetCode）

1、题目描述

2、算法思路

a. 分析插⼊位置左右两侧区间上元素的特点：

设插⼊位置的坐标为 index ，根据插⼊位置的特点可以知道：

• [left, index - 1] 内的所有元素均是⼩于 target 的；

• [index, right] 内的所有元素均是⼤于等于 target 的。

b. 设 left 为本轮查询的左边界， right 为本轮查询的右边界。根据 mid 位置元素的信息，分析下⼀轮查询的区间：

▪ 当 nums[mid] >= target 时，说明 mid 落在了 [index, right] 区间上，

mid 左边包括 mid 本⾝，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在 [left, mid] 上。因此，更新 right 到 mid 位置，继续查找。

▪ 当 nums[mid] < target 时，说明 mid 落在了 [left, index - 1] 区间上， mid 右边但不包括 mid 本⾝，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在 [mid + 1, right] 上。因此，更新 left 到 mid + 1 的位置，继续查找。

c. 直到我们的查找区间的⻓度变为 1 ，也就是 left == right 的时候， left 或者

right 所在的位置就是我们要找的结果。

3、算法代码

class Solution {
public:int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {int left=0,right=nums.size()-1;while(right>left){int mid=left+(right-left)/2;if(nums[mid]<target) left=mid+1;else right=mid;}if(nums[left]<target) return right+1;return right;}
};

4、4 X的平方根

69. x 的平方根 - 力扣（LeetCode）

1、题目描述

2、算法思路

依次枚举 [0, x] 之间的所有数 i ：

（这⾥没有必要研究是否枚举到 x / 2 还是 x / 2 + 1 。因为我们找到结果之后直接就返回

了，往后的情况就不会再判断。反⽽研究枚举区间，既耽误时间，⼜可能出错）

▪ 如果 i * i == x ，直接返回 x ；

▪ 如果 i * i > x ，说明之前的⼀个数是结果，返回 i - 1 。

由于 i * i 可能超过 int 的最⼤值，因此使⽤ long long 类型

3、算法代码

class Solution {
public:int mySqrt(int x) {if(x<1) return 0;int left=1,right=x;while(right>left){long long mid=left+(right-left+1)/2;if(mid*mid>x) right=mid-1;else left=mid;}return left;}
};

4、5 山峰数组的峰顶

852. 山脉数组的峰顶索引 - 力扣（LeetCode）

1、题目描述

2、算法思路

峰顶的特点：⽐两侧的元素都要⼤。

因此，我们可以遍历数组内的每⼀个元素，找到某⼀个元素⽐两边的元素⼤即可

3、算法代码

class Solution {
public:int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) {for(int i=1;i<arr.size()-1;i++){if(arr[i]>arr[i-1]&&arr[i]>arr[i+1]){return i;} }return 0;}
};

4、5 寻找峰值   

162. 寻找峰值 - 力扣（LeetCode）

1、题目描述

2、算法思路寻找⼆段性：

任取⼀个点 i ，与下⼀个点 i + 1 ，会有如下两种情况：

• arr[i] > arr[i + 1] ：此时「左侧区域」⼀定会存在⼭峰（因为最左侧是负⽆穷），那么我们可以去左侧去寻找结果；

• arr[i] < arr[i + 1] ：此时「右侧区域」⼀定会存在⼭峰（因为最右侧是负⽆穷），那么我们可以去右侧去寻找结果。

当我们找到「⼆段性」的时候，就可以尝试⽤「⼆分查找」算法来解决问题。

3、算法代码

class Solution {
public:int findPeakElement(vector<int>& nums) {vector<int> ret;int left=0,right=nums.size()-1;while(right>left){int mid=left+(right-left+1)/2;if(nums[mid]>nums[mid-1]) left=mid;else right=mid-1;}return left;}
};

4、6 寻找旋转排序数组中的最⼩值

153. 寻找旋转排序数组中的最小值 - 力扣（LeetCode）

1、题目描述

2、算法思路

题⽬中的数组规则如下图所示：

其中 C 点就是我们要求的点。

⼆分的本质：找到⼀个判断标准，使得查找区间能够⼀分为⼆。

通过图像我们可以发现， [A ， B] 区间内的点都是严格⼤于 D 点的值的， C 点的值是严格⼩于 D 点的值的。但是当 [C ， D] 区间只有⼀个元素的时候， C 点的值是可能等于 D 点的值的。

因此，初始化左右两个指针 left ， right ：然后根据 mid 的落点，我们可以这样划分下⼀次查询的区间：

▪ 当 mid 在 [A ， B] 区间的时候，也就是 mid 位置的值严格⼤于 D 点的值，下⼀次查询区间在 [mid + 1 ， right] 上；

▪ 当 mid 在 [C ， D] 区间的时候，也就是 mid 位置的值严格⼩于等于 D 点的值，下次查询区间在 [left ， mid] 上。

当区间⻓度变成 1 的时候，就是我们要找的结果。

3、算法代码 

class Solution {
public:int findMin(vector<int>& nums) {int tmp=nums[nums.size()-1];int left=0,right=nums.size()-1;while(right>left){int mid=left+(right-left)/2;if(nums[mid]>tmp) left=mid+1;else right=mid;}return nums[left];}
};

4、7 0~n-1缺失的数字

LCR 173. 点名 - 力扣（LeetCode）

1、题目描述

2、算法思路

关于这道题中，时间复杂度为 O(N) 的解法有很多种，⽽且也是⽐较好想的，这⾥就不再赘述。

本题只讲解⼀个最优的⼆分法，来解决这个问题。

在这个升序的数组中，我们发现：

▪ 在第⼀个缺失位置的左边，数组内的元素都是与数组的下标相等的；

▪ 在第⼀个缺失位置的右边，数组内的元素与数组下标是不相等的。

因此，我们可以利⽤这个「⼆段性」，来使⽤「⼆分查找」算法。

3、算法代码

class Solution {
public:int takeAttendance(vector<int>& records) {int left=0,right=records.size()-1,k=0;while(right>left){int mid = left+(right-left)/2;if(records[mid]!=mid) right=mid;else left=mid+1;}return left==records[left]?left+1:left;}