[足式机器人]Part3 机构运动学与动力学分析与建模 Ch00-2(2) 质量刚体的在坐标系下运动

本文仅供学习使用，总结很多本现有讲述运动学或动力学书籍后的总结，从矢量的角度进行分析，方法比较传统，但更易理解，并且现有的看似抽象方法，两者本质上并无不同。

2024年底本人学位论文发表后方可摘抄
若有帮助请引用
本文参考：
黎 旭,陈 强 洪,甄 文 强 等.惯 性 张 量 平 移 和 旋 转 复 合 变 换 的 一 般 形 式 及 其 应 用[J].工 程 数 学 学 报,2022,39(06):1005-1011.

食用方法
质量点的动量与角动量
刚体的动量与角动量——力与力矩的关系
惯性矩阵的表达与推导——在刚体运动过程中的作用
惯性矩阵在不同坐标系下的表达
务必自己推导全部公式，并理解每个符号的含义

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2.2.3 欧拉方程 Euler equation

对式${\vec{H}}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}/\mathrm{O}}^F$进一步分析，有：
$$\begin{array}{rl}{\vec{H}}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}/\mathrm{O}}^F& =\int {\vec{R}}_{{\mathrm{OP}}_{\mathrm{i}}}^F\times \left(\mathrm{d}{m}_i\cdot \frac{\mathrm{d}{\vec{R}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F}{\mathrm{d}t}\right)=\int \left(\left({\vec{R}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F-{\vec{R}}_{\mathrm{O}}^F\right)\times {\vec{V}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F\right)\mathrm{d}{m}_i\\ & =\int \left({\vec{R}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F\times {\vec{V}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F\right)\mathrm{d}{m}_i-\int \left({\vec{R}}_{\mathrm{O}}^F\times {\vec{V}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F\right)\mathrm{d}{m}_i\\ & ={\vec{H}}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F-{\vec{R}}_{\mathrm{O}}^F\times {\vec{P}}_{\mathrm{G}}^F\end{array}$$
对上式进一步求导，则有：
$$\frac{\mathrm{d}{\vec{H}}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}/\mathrm{O}}^F}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}{\vec{H}}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F}{\mathrm{d}t}-\frac{\mathrm{d}\left({\vec{R}}_{\mathrm{O}}^F\times {\vec{P}}_{\mathrm{G}}^F\right)}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}{\vec{H}}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F}{\mathrm{d}t}-{\vec{V}}_{\mathrm{O}}^F\times {\vec{P}}_{\mathrm{G}}^F-m_{\mathrm{total}}\cdot {\vec{R}}_{\mathrm{O}}^F\times {\vec{a}}_{\mathrm{G}}^F$$
其中：
$$\begin{array}{rl}{\vec{H}}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F& =\int {\vec{R}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F\times {\vec{p}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F=\int \left({\vec{R}}_{\mathrm{G}}^F+{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\right)\times \left(\mathrm{d}{m}_i\cdot \left({\vec{V}}_{\mathrm{G}}^F+{\vec{V}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\right)\right)\\ & =\begin{array}{c}\underbrace{\int {\vec{R}}_{\mathrm{G}}^F\times {\vec{V}}_{\mathrm{G}}^F\mathrm{d}{m}_i}\\ m_{\mathrm{total}}\cdot {\vec{R}}_{\mathrm{G}}^F\times {\vec{V}}_{\mathrm{G}}^F\end{array}+\begin{array}{c}\underbrace{\int {\vec{R}}_{\mathrm{G}}^F\times {\vec{V}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\mathrm{d}{m}_i}\\ 0\end{array}+\begin{array}{c}\underbrace{\int {\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\times {\vec{V}}_{\mathrm{G}}^F\mathrm{d}{m}_i}\\ 0\end{array}+\begin{array}{c}\underbrace{\int {\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\times {\vec{V}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\mathrm{d}{m}_i}\\ \int {\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\times \left({\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\times {\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\right)\mathrm{d}{m}_i\end{array}\\ & =m_{\mathrm{total}}\cdot {\vec{R}}_{\mathrm{G}}^F\times {\vec{V}}_{\mathrm{G}}^F+\int {\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\times \left({\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\times {\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\right)\mathrm{d}{m}_i\\ & =m_{\mathrm{total}}\cdot {\vec{R}}_{\mathrm{G}}^F\times {\vec{V}}_{\mathrm{G}}^F+\int \left({\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\cdot {\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\right){\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\mathrm{d}{m}_i-\int \left({\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\cdot {\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\right){\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\mathrm{d}{m}_i\end{array}$$
将${\vec{H}}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F$进一步求导，则有：
$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}{\vec{H}}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F}{\mathrm{d}t}& =\{\begin{array}{l}{\vec{R}}_{\mathrm{G}}^F\times m_{\mathrm{total}}\cdot {\vec{a}}_{\mathrm{G}}^F+2\int \left({\vec{V}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F\cdot {\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\right){\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\mathrm{d}{m}_{\mathrm{i}}+\int \left({\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\cdot {\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\right){\vec{\alpha }}_{\mathrm{M}}^F\mathrm{d}{m}_{\mathrm{i}}\\ -\int \left({\vec{V}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\cdot {\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\right){\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\mathrm{d}{m}_{\mathrm{i}}-\int \left({\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\cdot {\vec{\alpha }}_{\mathrm{M}}^F\right){\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\mathrm{d}{m}_{\mathrm{i}}-\int \left({\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\cdot {\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\right){\vec{V}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\mathrm{d}{m}_{\mathrm{i}}\end{array}\\ & =\{\begin{array}{l}{\vec{R}}_{\mathrm{G}}^F\times m_{\mathrm{total}}\cdot {\vec{a}}_{\mathrm{G}}^F+\left(\int \left({\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\cdot {\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\right){\vec{\alpha }}_{\mathrm{M}}^F\mathrm{d}{m}_{\mathrm{i}}-\int \left({\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\cdot {\vec{\alpha }}_{\mathrm{M}}^F\right){\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\mathrm{d}{m}_{\mathrm{i}}\right)\\ -\int \left({\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\cdot {\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\right)\left({\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\times {\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\right)\mathrm{d}{m}_{\mathrm{i}}\end{array}\\ & =\{\begin{array}{l}{\vec{R}}_{\mathrm{G}}^F\times m_{\mathrm{total}}\cdot {\vec{a}}_{\mathrm{G}}^F+\left(\int \left({{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F}^{\mathrm{T}}{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\right)\cdot E^{3\times 3}{\vec{\alpha }}_{\mathrm{M}}^F\mathrm{d}{m}_{\mathrm{i}}-\int \left({{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F}^{\mathrm{T}}{\vec{\alpha }}_{\mathrm{M}}^F\right){\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\mathrm{d}{m}_{\mathrm{i}}\right)\\ -\int \left({{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F}^{\mathrm{T}}{\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\right)\left({\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\times {\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\right)\mathrm{d}{m}_{\mathrm{i}}\end{array}\\ & =\{\begin{array}{l}{\vec{R}}_{\mathrm{G}}^F\times m_{\mathrm{total}}\cdot {\vec{a}}_{\mathrm{G}}^F+{\vec{\alpha }}_{\mathrm{M}}^F\int \left({{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F}^{\mathrm{T}}{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\cdot E^{3\times 3}-{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F{{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F}^{\mathrm{T}}\right)\mathrm{d}{m}_{\mathrm{i}}\\ -{\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\times \left(\int \left({\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F{{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F}^{\mathrm{T}}\right)\mathrm{d}{m}_{\mathrm{i}}\cdot {\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\right)\end{array}\end{array}$$
其中：
$$\begin{array}{rl}\Rightarrow & -{\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\times \int \left({\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F{{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F}^{\mathrm{T}}\right)\mathrm{d}{m}_{\mathrm{i}}\cdot {\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\\ & ={\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\times \left(\int \left({{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F}^{\mathrm{T}}{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\cdot E^{3\times 3}-{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F{{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F}^{\mathrm{T}}-{{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F}^{\mathrm{T}}{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\cdot E^{3\times 3}\right)\mathrm{d}{m}_{\mathrm{i}}\cdot {\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\right)\\ & ={\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\times \left(\int \left({{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F}^{\mathrm{T}}{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\cdot E^{3\times 3}-{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F{{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F}^{\mathrm{T}}\right)\mathrm{d}{m}_{\mathrm{i}}\cdot {\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\right)-\begin{array}{c}\underbrace{{\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\times \left(\int \left({{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F}^{\mathrm{T}}{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\cdot E^{3\times 3}\right)\mathrm{d}{m}_{\mathrm{i}}\cdot {\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\right)}\\ 0\end{array}\end{array}$$

将上两式进行汇总，可得：
$$\begin{array}{rl}\Rightarrow \frac{\mathrm{d}{\vec{H}}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F}{\mathrm{d}t}& =\{\begin{array}{l}{\vec{R}}_{\mathrm{G}}^F\times m_{\mathrm{total}}\cdot {\vec{a}}_{\mathrm{G}}^F+\int \left({{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F}^{\mathrm{T}}{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\cdot E^{3\times 3}-{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F{{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F}^{\mathrm{T}}\right)\mathrm{d}{m}_{\mathrm{i}}{\vec{\alpha }}_{\mathrm{M}}^F\\ +{\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\times \left(\int \left({{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F}^{\mathrm{T}}{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\cdot E^{3\times 3}-{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F{{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F}^{\mathrm{T}}\right)\mathrm{d}{m}_{\mathrm{i}}\cdot {\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\right)\end{array}\\ & ={\vec{R}}_{\mathrm{G}}^F\times m_{\mathrm{total}}\cdot {\vec{a}}_{\mathrm{G}}^F+{\left[I\right]}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}/\mathrm{G}}^F{\vec{\alpha }}_{\mathrm{M}}^F+{\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\times \left({\left[I\right]}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}/\mathrm{G}}^F\cdot {\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\right)\end{array}$$

其中：
$${\left[I\right]}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}/\mathrm{G}}^F=\int \left({{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F}^{\mathrm{T}}{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F\cdot E^{3\times 3}-{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F{{\vec{R}}_{{\mathrm{GP}}_{\mathrm{i}}}^F}^{\mathrm{T}}\right)\mathrm{d}{m}_i$$

${\left[I\right]}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}/\mathrm{G}}^F$被称为惯性矩阵inertia matrix（或称为惯量矩阵），为该物体在固定坐标系下相对于质心点$G$的惯性张量。

进而可知：
$$\frac{\mathrm{d}{\vec{H}}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F}{\mathrm{d}t}={\vec{M}}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F=\int {\vec{R}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F\times \mathrm{d}{\vec{F}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F={\vec{R}}_{\mathrm{G}}^F\times m_{\mathrm{total}}\cdot {\vec{a}}_{\mathrm{G}}^F+{\left[I\right]}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}/\mathrm{G}}^F{\vec{\alpha }}_{\mathrm{M}}^F+{\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\times \left({\left[I\right]}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}/\mathrm{G}}^F\cdot {\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\right)$$
上式被称为：欧拉方程在惯性坐标系下相对固定点的表达式；当固定点与质心点重合时(此时G点为固定点)，则有：
$$\begin{array}{rl}{\vec{M}}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}/\mathrm{G}}^F& ={\vec{M}}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F-{\vec{R}}_{\mathrm{G}}^F\times \left(m_{\mathrm{total}}\cdot {\vec{a}}_{\mathrm{G}}^F\right)\\ & ={\vec{R}}_{\mathrm{G}}^F\times \left(m_{\mathrm{total}}\cdot {\vec{a}}_{\mathrm{G}}^F\right)+{\left[I\right]}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}/\mathrm{G}}^F{\vec{\alpha }}_{\mathrm{M}}^F+{\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\times \left({\left[I\right]}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}/\mathrm{G}}^F\cdot {\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\right)-{\vec{R}}_{\mathrm{G}}^F\times \left(m_{\mathrm{total}}\cdot {\vec{a}}_{\mathrm{G}}^F\right)\\ & ={\left[I\right]}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}/\mathrm{G}}^F{\vec{\alpha }}_{\mathrm{M}}^F+{\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\times \left({\left[I\right]}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}/\mathrm{G}}^F\cdot {\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^F\right)\end{array}$$
此时为固定坐标系下相对固定点质心$G$求解的欧拉方程。