[足式机器人]Part3 机构运动学与动力学分析与建模 Ch00-1 坐标系与概念基准

本文仅供学习使用，总结很多本现有讲述运动学或动力学书籍后的总结，从矢量的角度进行分析，方法比较传统，但更易理解，并且现有的看似抽象方法，两者本质上并无不同。

2024年底本人学位论文发表后方可摘抄
若有帮助请引用
本文参考：

食用方法
坐标系的组成与表达方式
点的运动在不同三维坐标系中的表达与运动描述——推导的过程？
广义坐标系的推广
点的表达与向量表达，及其不同点（投影矩阵的作用？）
建议把每个图自己都画一遍，理解每个符号表达的含义，以及为什么这么表达（尤其是如何定义角度、向量）

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1. 空间坐标系

坐标系Coordinates是一个用于描述$n$维系统中某一状态参数的坐标表示系统：对于同一$n$维系统的状态参数可用不同的坐标系进行表示，即具有不同的 基底Basis（基矢量） ；而对于不同的坐标系而言，表示同一状态参数存在对应关系，因此坐标系之间也存在着 变化关系，这种变化关系的本质是不同坐标系的基底之间的转换。

• 坐标系的表达： { F } \left\{ F \right\} {F}, { M } \left\{ M \right\} {M}，其中“ { } \{\} {}”符号特指坐标系，一般用 { F } \left\{ F \right\} {F}表示固定坐标系 Fixed， { M } \left\{ M \right\} {M}表示运动坐标系 Moving；对于部分坐标系也可以称为标架Frame。

• 基矢量的表达：$\hat{i},\hat{j},\hat{k}$，其中 “ $\hat{}$ ” 符号特指基矢量;对于固定坐标系 { F } \left\{ F \right\} {F}，其基矢量特定为：$\hat{I},\hat{J},\hat{K}$，对于其他运动坐标系而言，以坐标系 { M } \left\{ M \right\} {M}为例，其基矢量可写成：${\hat{i}}^M,{\hat{j}}^M,{\hat{k}}^M$

• 标架的表达：以 { M } \left\{ M \right\} {M}为例，其运动标架可表示为：$\left\{M:\left({\hat{i}}^M,{\hat{j}}^M,{\hat{k}}^M\right)\right\}$

当坐标系的维数 $n=3$ 时，便称为空间坐标系。

1.1 笛卡尔坐标系 Cartesian coordinate system

笛卡尔坐标系是我们在三维空间中常用的表示空间运动的坐标系，基于观测位置与对象的不同，还有GPS坐标系 等其他表达方式。对于任一笛卡尔坐标系，视其基矢量为${\hat{X}}_1,{\hat{X}}_2,{\hat{X}}_3$，对于该空间内任一点 $P$ 都可以这组基矢量进行表达。

1.2 点Partical的运动与表达

对于空间中任意一点$P$而言，其位置Position表述该系统空间的一种状态参数，因此其在各基矢量上的标量分量即为对应的坐标参数。因此该点$P$在笛卡尔坐标系中的表达为：
$${\vec{R}}_{\mathrm{P}}^X=\vec{P}=P_1{\hat{X}}_1+P_2{\hat{X}}_2+P_3{\hat{X}}_3$$

1.2.1 笛卡尔直角坐标系

$\left\{F:\left({\hat{X}}_1,{\hat{X}}_2,{\hat{X}}_3\right)\right\}=\left\{F:\left(\hat{I},\hat{J},\hat{K}\right)\right\}$

对于状态空间中一点$P$，其在固定坐标系标架$\left\{F:\left(\hat{I},\hat{J},\hat{K}\right)\right\}$上基矢量的投影参数为$\left(P_1,P_2,P_3\right)$，因此可将点 $P$ 在笛卡尔直角坐标系中进行表述
$${\vec{R}}_{\mathrm{P}}^F=P_1\hat{I}+P_2\hat{J}+P_3\hat{K}={\left[\begin{array}{c}\hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{c}{P}_1\\ P_2\\ P_3\end{array}\right]$$

进而可以求解其速度Velocity参数 ${\vec{V}}_{\mathrm{P}}^F$ 为：
$${\vec{V}}_{\mathrm{P}}^F={\dot{\vec{R}}}_{\mathrm{P}}^F=\frac{\mathrm{d}{\vec{R}}_{\mathrm{P}}^F}{\mathrm{dt}}={\left[\begin{array}{c}{\dot{\hat{I}}}_{\nearrow 0}\\ {\dot{\hat{J}}}_{\nearrow 0}\\ {\dot{\hat{K}}}_{\nearrow 0}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{c}{P}_1\\ P_2\\ P_3\end{array}\right]+{\left[\begin{array}{c}\hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{c}{\dot{P}}_1\\ {\dot{P}}_2\\ {\dot{P}}_3\end{array}\right]$$
其加速度acceleration参数 ${\vec{a}}_{\mathrm{P}}^F$ 为：
$${\vec{a}}_{\mathrm{P}}^F={\dot{\vec{V}}}_{\mathrm{P}}^F={\ddot{\vec{R}}}_{\mathrm{P}}^F=\frac{\mathrm{d}{\vec{V}}_{\mathrm{P}}^F}{\mathrm{dt}}={\left[\begin{array}{c}{\dot{\hat{I}}}_{\nearrow 0}\\ {\dot{\hat{J}}}_{\nearrow 0}\\ {\dot{\hat{K}}}_{\nearrow 0}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{c}{\dot{P}}_1\\ {\dot{P}}_2\\ {\dot{P}}_3\end{array}\right]+{\left[\begin{array}{c}\hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{c}{\ddot{P}}_1\\ {\ddot{P}}_2\\ {\ddot{P}}_3\end{array}\right]$$

1.2.2 笛卡尔柱坐标系

$\left\{F:\left({\hat{X}}_1,{\hat{X}}_2,{\hat{X}}_3\right)\right\}=\left\{F:\left({\hat{X}}_{\mathrm{r}},{\hat{X}}_{\theta },\hat{K}\right)\right\}$

对于不同的坐标系，点 $P$ 在状态空间中并没有发生变化，而由于基矢量的变化导致其投影参数发生改变。在柱坐标系中，点 $P$ 表述为：
$${\vec{R}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}=\vec{P}=P_1{}^{\prime }{\hat{X}}_{\mathrm{r}}+P_2{}^{\prime }{\hat{X}}_{\theta }+P_3{}^{\prime }\hat{K}$$
对于投影参数而言，$P_1{}^{\prime }$表示${\hat{X}}_{\mathrm{r}}$方向上的长度参数，而$P_2{}^{\prime }$表示${\hat{X}}_{\theta }$方向上的角度参数，而单纯的角度参数在实际的矢量运算过程中是比较难于理解的，因此对柱坐标系而言，实际上是将该方向上的已知投影参数转换到直角坐标系下进行表示

若已知柱坐标系下点 $P$ 的投影参数$P=\left(r,\theta ,k\right)$，其位置方程在直角坐标系下的表示为：
$${\vec{R}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{F}}=\vec{P}=r\cos \theta \hat{I}+r\sin \theta \hat{J}+k\hat{K}$$
可视为：$\left[\begin{array}{c}{P}_1\\ P_2\\ P_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}r\cos \theta \\ r\sin \theta \\ k\end{array}\right]$，对速度参数${\vec{V}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}$进行求解：
$${\vec{V}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{F}}={\dot{\vec{R}}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{F}}=\frac{\mathrm{d}{\vec{R}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{F}}}{\mathrm{dt}}={\left[\begin{array}{c}\hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{c}{\dot{P}}_1\\ {\dot{P}}_2\\ {\dot{P}}_3\end{array}\right]={\left[\begin{array}{c}\hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{dt}}\cos \theta -r\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{dt}}\sin \theta \\ \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{dt}}\sin \theta +r\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{dt}}\cos \theta \\ \frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{dt}}\end{array}\right]$$

当 $\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{dt}}=0$，$\frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{dt}}=0$ 时，即点 $P$ 不在矢径方向上运动，仅绕 $\hat{K}$ 进行平面上的纯回转，可将上式简化为：
$${{\vec{V}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{F}}|}_{\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{dt}}=0,\frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{dt}}=0}={\left[\begin{array}{c}\hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{c}-r\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{dt}}\sin \theta \\ r\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{dt}}\cos \theta \\ 0\end{array}\right]=r\dot{\theta }{\left[\begin{array}{c}\hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{c}-\sin \theta \\ \cos \theta \\ 0\end{array}\right]$$

对上式进一步求解其加速度参数 ${{\vec{a}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{F}}|}_{\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{dt}}=0,\frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{dt}}=0}$：
$${{\vec{a}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{F}}|}_{\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{dt}}=0,\frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{dt}}=0}=r\ddot{\theta }{\left[\begin{array}{c}\hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{c}-\sin \theta \\ \cos \theta \\ 0\end{array}\right]+r{\dot{\theta }}^2{\left[\begin{array}{c}\hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{c}-\cos \theta \\ -\sin \theta \\ 0\end{array}\right]={\vec{\alpha }}^{\mathrm{F}}\times {\vec{R}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{F}}+{\vec{\omega }}^{\mathrm{F}}\times {\vec{V}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{F}}$$
若考虑真实的向量表达，则柱坐标系中，点 $P$ 还可以表述为：
$${\vec{R}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}=r\left(\theta \right){\hat{X}}_{\mathrm{r}\left(\theta \right)}+k\hat{K}$$
其中：
$$\left[\begin{array}{c}{\hat{X}}_{\mathrm{r}}\\ {\hat{X}}_{\theta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\hat{I}\\ \hat{J}\end{array}\right]$$
进而可得：
$$\left[\begin{array}{c}{\dot{\hat{X}}}_{\mathrm{r}}\\ {\dot{\hat{X}}}_{\theta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\dot{\theta }\sin \theta & \dot{\theta }\cos \theta \\ -\dot{\theta }\cos \theta & -\dot{\theta }\sin \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\hat{I}\\ \hat{J}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& \dot{\theta }\\ -\dot{\theta }& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\hat{X}}_{\mathrm{r}}\\ {\hat{X}}_{\theta }\end{array}\right]$$
对于${\hat{X}}_{\mathrm{r}}$与${\hat{X}}_{\theta }$而言有：${\dot{\hat{X}}}_{\mathrm{r}}=\dot{\theta }{\hat{X}}_{\theta },{\hat{X}}_{\theta }=-\dot{\theta }{\dot{\hat{X}}}_{\mathrm{r}}$，此处的${\hat{X}}_{\theta }$表示的是垂直于基矢量${\hat{X}}_{\mathrm{r}}$的切矢量，与${\hat{X}}_{\theta }$不同。

虽然在三维系统中正常应该具有三个基矢量，而在上式中只有两个基矢量，但其投影参数与矢径上的基矢量为另一个参数$\theta$的函数，因此该式为真实表达形式，同样可得其速度与加速度参数为：
$$\{\begin{array}{c}{\vec{V}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}={\dot{\vec{R}}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}=\dot{r}{\hat{X}}_{\mathrm{r}}+r{\dot{\hat{X}}}_{\mathrm{r}}+\dot{k}\hat{K}=\dot{r}{\hat{X}}_{\mathrm{r}}+r\dot{\theta }{\hat{X}}_{\theta }+\dot{k}\hat{K}\\ {\vec{a}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}={\dot{\vec{V}}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}=\ddot{r}{\hat{X}}_{\mathrm{r}}+\dot{r}{\dot{\hat{X}}}_{\mathrm{r}}+\dot{r}\dot{\theta }{\hat{X}}_{\theta }+r\ddot{\theta }{\hat{X}}_{\theta }+r\dot{\theta }{\dot{\hat{X}}}_{\theta }+\ddot{k}\hat{K}=\ddot{r}{\hat{X}}_{\mathrm{r}}+\dot{r}\dot{\theta }{\hat{X}}_{\theta }+\dot{r}\dot{\theta }{\hat{X}}_{\theta }+r\ddot{\theta }{\hat{X}}_{\theta }-r{\dot{\theta }}^2{\hat{X}}_{\mathrm{r}}+\ddot{k}\hat{K}\end{array}$$
对上式)进行化简，可得：
$$\{\begin{array}{c}{\vec{V}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}=\dot{r}{\hat{X}}_{\mathrm{r}}+r\dot{\theta }{\hat{X}}_{\theta }+\dot{k}\hat{K}\\ {\vec{a}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}=\left(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2\right){\hat{X}}_{\mathrm{r}}+\left(2\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta }\right){\hat{X}}_{\theta }+\ddot{k}\hat{K}\end{array}$$

其中：$r\ddot{\theta }$ 称为欧拉项Eulerian term，$2\dot{r}\dot{\theta }$ 称为科里奥利项Coriolis term。

1.2.3 笛卡尔球坐标系

$\left\{F:\left({\hat{X}}_1,{\hat{X}}_2,{\hat{X}}_3\right)\right\}=\left\{F:\left({\hat{X}}_{\mathrm{r}},{\hat{X}}_{\theta },{\hat{X}}_{\varphi }\right)\right\}$

笛卡尔球坐标系也可以基于投影参数$P=\left(r,\theta ,\varphi \right)$ 在直角坐标系中进行表达，则点 $P$ 的运动参数为：
$${\vec{R}}_{\mathrm{P}}^F={\left[\begin{array}{c}\hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{c}r\sin \varphi \cos \theta \\ r\sin \varphi \sin \theta \\ r\cos \varphi \end{array}\right]$$
$${\vec{V}}_{\mathrm{P}}^F={\left[\begin{array}{c}\hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{c}\dot{r}\sin \varphi \cos \theta +r\dot{\varphi }\cos \varphi \cos \theta -r\dot{\theta }\sin \varphi \sin \theta \\ \dot{r}\sin \varphi \sin \theta +r\dot{\varphi }\cos \varphi \sin \theta +r\dot{\theta }\sin \varphi \cos \theta \\ \dot{r}\cos \varphi -r\dot{\varphi }\sin \varphi \end{array}\right]$$
$${\vec{a}}_{\mathrm{P}}^F={\left[\begin{array}{c}\hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{c}\left(\ddot{r}-r{\dot{\varphi }}^2-r{\dot{\theta }}^2\right)\sin \varphi \cos \theta +\left(2\dot{r}\dot{\varphi }+r\ddot{\varphi }\right)\cos \varphi \cos \theta -\left(2\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta }\right)\sin \varphi \sin \theta -\left(2r\dot{\theta }\dot{\varphi }\right)\cos \varphi \sin \theta \\ \left(\ddot{r}-r{\dot{\varphi }}^2-r{\dot{\theta }}^2\right)\sin \varphi \sin \theta +\left(2\dot{r}\dot{\varphi }+r\ddot{\varphi }\right)\cos \varphi \sin \theta +\left(2\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta }\right)\sin \varphi \cos \theta +\left(2r\dot{\theta }\dot{\varphi }\right)\cos \varphi \cos \theta \\ \left(\ddot{r}-r{\dot{\varphi }}^2\right)\cos \varphi -\left(2\dot{r}\dot{\varphi }+r\ddot{\varphi }\right)\sin \varphi \end{array}\right]$$

在笛卡尔球坐标中，如图所示,可将点 $P$ 的位置表述为:
$${\vec{R}}_{\mathrm{p}}^s=r{\hat{X}}_{\mathrm{r}}$$
其中：
$$\left[\begin{array}{c}{\hat{X}}_{\varphi }\\ {\hat{X}}_{\theta }\\ {\hat{X}}_{\mathrm{r}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos \varphi \cos \theta & \cos \varphi \sin \theta & -\sin \varphi \\ -\sin \theta & \cos \theta & 0\\ \sin \varphi \cos \theta & \sin \varphi \sin \theta & \cos \varphi \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\end{array}\right]$$
进而求得：
$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{\dot{\hat{X}}}_{\varphi }\\ {\dot{\hat{X}}}_{\theta }\\ {\dot{\hat{X}}}_{\mathrm{r}}\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{ccc}-\dot{\varphi }\sin \varphi \cos \theta -\dot{\theta }\cos \varphi \sin \theta & -\dot{\varphi }\sin \varphi \sin \theta +\dot{\theta }\cos \varphi \cos \theta & -\dot{\varphi }\cos \varphi \\ -\dot{\theta }\cos \theta & -\dot{\theta }\sin \theta & 0\\ \dot{\varphi }\cos \varphi \cos \theta -\dot{\theta }\sin \varphi \sin \theta & \dot{\varphi }\cos \varphi \sin \theta +\dot{\theta }\sin \varphi \cos \theta & -\dot{\varphi }\sin \varphi \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}0& \dot{\theta }\cos \varphi & -\dot{\varphi }\\ -\dot{\theta }\cos \varphi & 0& -\dot{\theta }\sin \varphi \\ \dot{\varphi }& \dot{\theta }\sin \varphi & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\hat{X}}_{\varphi }\\ {\hat{X}}_{\theta }\\ {\hat{X}}_{\mathrm{r}}\end{array}\right]\end{array}$$
进而求得其速度参数为：
$${\vec{V}}_{\mathrm{P}}^S={\dot{\vec{R}}}_{\mathrm{P}}^S=\dot{r}{\hat{X}}_{\mathrm{r}}+r{\dot{\hat{X}}}_{\mathrm{r}}=\dot{r}{\hat{X}}_{\mathrm{r}}+r\dot{\varphi }{\hat{X}}_{\varphi }+r\dot{\theta }\sin \varphi {\hat{X}}_{\theta }$$
角速度参数为：（仔细观察下式与投影矩阵的关系）
$${\vec{V}}_{\mathrm{P}}^S={\vec{\omega }}^S\times {\vec{R}}_{\mathrm{P}}^S\Rightarrow {\vec{\omega }}^S=\dot{\theta }\sin \varphi {\hat{X}}_{\varphi }-\dot{\theta }\cos \varphi {\hat{X}}_{\mathrm{r}}+\dot{\varphi }{\hat{X}}_{\theta }$$
加速度参数为：
$$\begin{array}{rl}{\vec{a}}_{\mathrm{P}}^S& ={\dot{\vec{V}}}_{\mathrm{P}}^S=\{\begin{array}{l}\ddot{r}{\hat{X}}_{\mathrm{r}}+\dot{r}{\dot{\hat{X}}}_{\mathrm{r}}+\dot{r}\dot{\varphi }{\hat{X}}_{\varphi }+r\ddot{\varphi }{\hat{X}}_{\varphi }+r\varphi {\dot{\hat{X}}}_{\varphi }\\ +\dot{r}\dot{\theta }\sin \varphi {\hat{X}}_{\theta }+r\ddot{\theta }\sin \varphi {\hat{X}}_{\theta }+r\dot{\theta }\dot{\varphi }\cos \varphi {\hat{X}}_{\theta }+r\dot{\theta }\sin \varphi {\dot{\hat{X}}}_{\theta }\end{array}\\ & =\{\begin{array}{l}\ddot{r}{\hat{X}}_{\mathrm{r}}+\dot{r}\left(\dot{\varphi }{\hat{X}}_{\varphi }+\dot{\theta }\sin \varphi {\hat{X}}_{\theta }\right)+\left(\dot{r}\dot{\varphi }+r\ddot{\varphi }\right){\hat{X}}_{\varphi }+r\varphi \left(\dot{\theta }\cos \varphi {\hat{X}}_{\theta }-\dot{\varphi }{\hat{X}}_{\mathrm{r}}\right)\\ +\left(\dot{r}\dot{\theta }\sin \varphi +r\ddot{\theta }\sin \varphi +r\dot{\theta }\dot{\varphi }\cos \varphi \right){\hat{X}}_{\theta }+r\dot{\theta }\sin \varphi \left(-\dot{\theta }\cos \varphi {\hat{X}}_{\varphi }-\dot{\theta }\sin \varphi {\hat{X}}_{\mathrm{r}}\right)\end{array}\\ & =\left(\ddot{r}-r\varphi \dot{\varphi }-r{\dot{\theta }}^2\sin {\varphi }^2\right){\hat{X}}_{\mathrm{r}}+\left(2\dot{r}\dot{\varphi }+r\ddot{\varphi }-r{\dot{\theta }}^2\sin \varphi \cos \varphi \right){\hat{X}}_{\varphi }+\left[\left(2\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta }\right)\sin \varphi +\left(r\dot{\theta }\dot{\varphi }+r\varphi \dot{\theta }\right)\cos \varphi \right]{\hat{X}}_{\theta }\end{array}$$

1.2.4 曲线坐标系:Frenet标架（详见微分几何-曲线论内容）

其中，$s$ 为曲线的弧长参数，$\rho$ 为曲线的曲率半径；则有：$\dot{\vec{\alpha }}=\frac{\dot{s}}{\rho }\vec{\beta }$，其中，$\ddot{s}$ 为切向加速度，$\frac{{\dot{s}}^2}{\rho }$ 为向心加速度，整理出：
$$\{\begin{array}{c}{\vec{V}}_{\mathrm{P}}^F={\dot{\vec{R}}}_{\mathrm{P}}^F=\dot{s}\vec{\alpha }\\ {\vec{a}}_{\mathrm{P}}^F={\dot{\vec{V}}}_{\mathrm{P}}^F=\ddot{s}\vec{\alpha }+\dot{s}\dot{\vec{\alpha }}=\ddot{s}\vec{\alpha }+\frac{{\dot{s}}^2}{\rho }\vec{\beta }\end{array}$$

且有角速度$\vec{\omega }={\omega }_{\alpha }\vec{\alpha }+{\omega }_{\beta }\vec{\beta }+{\omega }_{\gamma }\vec{\gamma }$，求解下式：$\dot{\vec{\alpha }}={\omega }_{\gamma }\vec{\beta }=\frac{\dot{s}}{\rho }\vec{\beta },\dot{\vec{\beta }}=-{\omega }_{\alpha }\vec{\beta }=\dot{s}\frac{\mathrm{d}\vec{\gamma }}{\mathrm{d}s},{\omega }_{\beta }=0$

补充说明:
对于笛卡尔坐标系内的点 $P$ 而言，其速度参数与加速度参数既可以在固定直角坐标系的标架$\left\{F:\left(\hat{I},\hat{J},\hat{K}\right)\right\}$下进行表示，也可以在运动坐标系的标架下$\left\{C:\left({\hat{X}}_{\mathrm{r}},{\hat{X}}_{\theta },\hat{K}\right)\right\}$（柱坐标系）、$\left\{S:\left({\hat{X}}_{\varphi },{\hat{X}}_{\theta },{\hat{X}}_{\mathrm{r}}\right)\right\}$（球坐标系）进行表示，甚至在轨迹的Frenet标架下表示。根据所给的运动参数，可以求得不同标架所对应不同运动的投影参数。

1.2.5 广义坐标系 Generalized coordinates system

对于不固定的单位矢量而言(如上述的柱坐标系中的${\hat{X}}_{\mathrm{r}}$与${\hat{X}}_{\theta }$，球坐标系中的$\left({\hat{X}}_{\varphi },{\hat{X}}_{\theta },{\hat{X}}_{\mathrm{r}}\right)$)，在表达运动时可能更为方便。认为广义坐标generalized coordinates是用来描述系统形位的相互独立广义坐标矢量的投影参数坐标，即在该广义坐标系下描述任意矢量，则有：
$${\dot{\vec{r}}}_{\mathrm{p}}^e=\left({\dot{q}}_1{\vec{e}}_1+{\dot{q}}_2{\vec{e}}_2+\cdots +{\dot{q}}_{\mathrm{n}}{\vec{e}}_{\mathrm{n}}\right)+\left(Q_1{\dot{\vec{e}}}_1+q_2{\dot{\vec{e}}}_2+\cdots +q_{\mathrm{n}}{\dot{\vec{e}}}_{\mathrm{n}}\right)=\left({\dot{q}}_1{\vec{e}}_1+{\dot{q}}_2{\vec{e}}_2+\cdots +{\dot{q}}_{\mathrm{n}}{\vec{e}}_{\mathrm{n}}\right)+{\vec{\omega }}^e\times {\vec{r}}_{\mathrm{p}}^e$$
对于三维空间而言，则有：
$${\dot{\vec{R}}}_{\mathrm{P}}^E=\left({\dot{q}}_1+{\omega }_2{q}_3-{\omega }_3{q}_2\right){\vec{e}}_1+\left({\dot{q}}_2+{\omega }_3{q}_1-{\omega }_1{q}_3\right){\vec{e}}_2+\left({\dot{q}}_3+{\omega }_1{q}_2-{\omega }_2{q}_1\right){\vec{e}}_3$$

1.3 矢量Vector在坐标系下的表示与关系转换

对于质量点而言 $P$ ，其可将其在固定坐标系 { F } \left\{ F \right\} {F}（默认为直角坐标系）下进行表示。同理，对于运动坐标系 { M } \left\{ M \right\} {M}而言，点 $P$ 为运动刚体上一点，在运动坐标系下的表达为:${\vec{R}}_{\mathrm{P}}^M$，则其矢量在固定坐标系下的表达为：${\left({\vec{R}}_{\mathrm{P}}^M\right)}^F$，或写成矢量表达形式为：${\vec{R}}_{{\mathrm{O}}^{\mathrm{M}}\mathrm{P}}^M\to {\vec{R}}_{{\mathrm{O}}^{\mathrm{M}}\mathrm{P}}^F$
$$\begin{array}{rl}{\vec{R}}_{\mathrm{P}}^M& ={P_1}^M{\hat{i}}^M+{P_2}^M{\hat{j}}^M+{P_3}^M{\hat{k}}^M={\left[\begin{array}{c}{\hat{i}}^M\\ {\hat{j}}^M\\ {\hat{k}}^M\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{c}{P_1}^M\\ {P_2}^M\\ {P_3}^M\end{array}\right]={\left({\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{c}\hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\end{array}\right]\right)}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{c}{P_1}^M\\ {P_2}^M\\ {P_3}^M\end{array}\right]\\ & ={\left[\begin{array}{c}\hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]\left[\begin{array}{c}{P_1}^M\\ {P_2}^M\\ {P_3}^M\end{array}\right]={\left({\vec{R}}_{\mathrm{P}}^M\right)}^F\end{array}$$

注意到其中的矩阵$\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]$，可以理解为笛卡尔坐标系中球坐标系/柱坐标系的基矢量转换为直角坐标系的矢量，该矩阵同时也与向量的旋转有关。该矩阵的表达与含义十分重要。——请找到上述内容中符合$\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]$的矩阵！加强你的理解