【数学】任意一个正整数n最多只有一个质因数大于根号n，怎么证明？

定理

任意一个正整数n最多只有一个大于$\sqrt{n}$的质因子，并且该大于$\sqrt{n}$质因子的幂次是1。

证明（反证法）

证明：最多只有一个大于$\sqrt{n}$的质因子

假设n存在两个大于$\sqrt{n}$的质因子，分别为p1,p2。
已知p1> $\sqrt{n}$，p2> $\sqrt{n}$
所以 p1p2 > $(\sqrt{n}{)}^2$ = n.
又因为 n > p1p2
所以联立得n > p1*p2 > $(\sqrt{n}{)}^2$ = n
即n>n矛盾。所以假设不成立，所以至多有1个大于$\sqrt{n}$的质因子。

证明：该大于$\sqrt{n}$质因子的幂次是1

下面证明如果存在大于$\sqrt{n}$的质因子，该大于$\sqrt{n}$质因子的幂次是1。
假设n存在的1个大于根号n的质因子是p，p的次幂是k>=2(不是1)
已知p> $\sqrt{n}$，k>=2
所以 n >= $p^k$ >= $p^2$ > n
所以n>n矛盾。
所以假设不成立，所以幂次只能是1。