C++---最长上升子序列模型---拦截导弹（每日一道算法2023.3.4）

注意事项：
本题为"线性dp—最长上升子序列的长度"的扩展题，这里只讲贪心思路，dp去这个看。

题目：
某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。
但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。
某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。
由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。
输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数，导弹数不超过1000），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。

输入格式
共一行，输入导弹依次飞来的高度。

输出格式
第一行包含一个整数，表示最多能拦截的导弹数。
第二行包含一个整数，表示要拦截所有导弹最少要配备的系统数。

数据范围
雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数，导弹数不超过1000。

输入:
389 207 155 300 299 170 158 65

输出：
6
2

#include <cmath>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int N = 1010;
int n;
int w[N], f[N], g[N];//最长下降子序列模板
int lis() {int res = 0;for (int i = 0; i<n; i++) {f[i] = 1;for (int j = 0; j<i; j++) {if (w[j] >= w[i]) f[i] = max(f[i], f[j] + 1);   //这里注意是>=，因为题目中说的是每一发炮弹都不能高于前一发的高度。}res = max(res, f[i]);}return res;
}int main()
{//读入int x;while (cin >> x) w[n++] = x;//dp最长下降子序列模板cout << lis() << endl;//贪心求出最多需要多少个策略, res表示链的个数。//思路是每次从第一个链开始，找到比当前值大，且在是所有链尾中最小的那个，将其替换，也就是单调下降队列的思路。//如何证明这样写，就一定保证w[i]会加在比当前导弹大且在所有链尾中最小的后面？//假设有两条链, g[1]=...x1, g[2]=...x2, 那么此时x1必定小于x2, 因为如果x2<x1, 那么g[1]应该=...x1x2。int res = 0;for (int i = 0; i<n; i++) {int k = 0;while (k < res && g[k] < w[i]) k++;g[k] = w[i];if (k >= res) res++;}cout << res << endl;return 0;
}

思路：
dp思路和最长上升子序列长度一样，不多讲。
这里着重说一下第二部分的贪心的思路。

首先猜测一下性质，根据题目所说，需要求出几套系统能够拦截所有导弹。

那也就是找到，用几个下降子序列能够完全覆盖整个数列。
可以将每个下降子序列看作一个链，完全单调下降，每遇到一个新的导弹，尝试将其放到合适的下降子序列的末尾，那怎么算是合适呢？

答案是找到当前所有链尾中，比新导弹高度更高，且是所有链尾中最小的那个。

怎么证明这个贪心思路是正确的：调整法
首先贪心答案(A), 最优解(B), 证明A >= B, B >= A，也就是A = B
A >= B:
因为贪心是一种解，所以符合A >= B.
B >= A:
当条件成立，而A != B, 说明A和B肯定有某个链是不同的，也就是在链的某个点c产生了分歧：
贪心：a1链…c…
最优：a2链…c…
而贪心的策略是将每个数放到比新导弹大，且是链尾中最小的那个后面，那就说明最优解的前一个量，是要比贪心解的前一个量要大的，那么就可以将贪心解的c替换到最优解的c的位置，而不影响链的数量，即证明了A = B

声明：
算法思路来源为y总，详细请见https://www.acwing.com/
本文仅用作学习记录和交流