圆的参数方程是如何推导的？

1. 圆的三种参数表示

  已知圆的第一种参数方程为：
$$x^2+y^2=r$$
  圆的图像如下：

  通过上图，不难理解，圆的参数方程还可以用三角函数表示，也就是第二种参数表示方式，x值为余弦值，y值为正弦值：
$$\begin{gathered} x=r\cos (\theta ) \\ y=r\sin (\theta ) \end{gathered}$$
  $\theta$的取值自然是$0-2\pi$。那么除了用三角函数表示之外，圆的方程还可以表示如下，也就是第三种参数表示：
$$\begin{gathered} x=\frac{1-t^2}{1+t^2}r \\ y=\frac{2t}{1+t^2}r \end{gathered}$$
  $t$的取值是全体实数。那这第三种表达方式是怎么推导出来的呢？答案还是三角函数。

2. 三角函数万能公式

  在第二种参数表达中，$\sin \theta$和$\cos \theta$可以分别写作：
sin ⁡ ( θ ) = 2 tan ⁡ θ 2 1 + tan ⁡ 2 θ 2 cos ⁡ ( θ ) = 1 − tan ⁡ 2 θ 2 1 + tan ⁡ 2 θ 2 \sin (\theta)=\frac {2\tan \frac{\theta}{2}}{1+\tan^2 \frac {\theta}{2}}\\[1em] \cos (\theta)=\frac {1-\tan^2 \frac {\theta}{2}}{1+\tan^2 \frac {\thet