2023thupc总结
A 大富翁
很有意思的题
∑x∈A∑y∈B[x支配y]−∑x∈A∑y∈B[y支配x]−∑x∈Awx\sum_{x\in A}\sum_{y\in B}[x支配y]-\sum_{x\in A}\sum_{y\in B}[y支配x]-\sum_{x\in A}w_x∑x∈A∑y∈B[x支配y]−∑x∈A∑y∈B[y支配x]−∑x∈Awx
=∑x∈A∑y[x支配y]−∑x∈A∑y[y支配x]−∑x∈Awx=\sum_{x\in A}\sum_{y}[x支配y]-\sum_{x\in A}\sum_{y}[y支配x]-\sum_{x\in A}w_x=∑x∈A∑y[x支配y]−∑x∈A∑y[y支配x]−∑x∈Awx
=∑x∈Asizx−∑x∈Adepx−∑x∈Awx=\sum_{x\in A}siz_x-\sum_{x\in A}dep_x-\sum_{x\in A}w_x=∑x∈Asizx−∑x∈Adepx−∑x∈Awx
这样每个点的贡献就确定了
排序后取奇数位
C 快速最小公倍数变换
考虑把贡献改写成一个只跟rir_iri相关,只跟rjr_jrj相关,只跟ri+rjr_i+r_jri+rj相关的三个数的乘积
设vp(x)v_p(x)vp(x)表示质数ppp在xxx质因数分解中的指数大小,MpM_pMp表示所有vp(ai)v_p(a_i)vp(ai)的最大值,mpm_pmp所有vp(ai)v_p(a_i)vp(ai)的非严格次大值
考虑算出MpM_pMp在操作之后的改变值ΔMp\Delta M_pΔMp
ΔMp=([vp(ri)=Mp]+[vp(rj)=Mp])(mp−Mp)+max(vp(ri+rj)−Mp,0)\Delta M_p=([v_p(r_i)=M_p]+[v_p(r_j)=M_p])(m_p-M_p)+\max(v_p(r_i+r_j)-M_p,0)ΔMp=([vp(ri)=Mp]+[vp(rj)=Mp])(mp−Mp)+max(vp(ri+rj)−Mp,0)
证明
当[vp(ri)=Mp]=0,[vp(rj)=Mp]=0[v_p(r_i)=M_p]=0,[v_p(r_j)=M_p]=0[vp(ri)=Mp]=0,[vp(rj)=Mp]=0时,显然满足
当[vp(ri)=Mp]=1,[vp(rj)=Mp]=0[v_p(r_i)=M_p]=1,[v_p(r_j)=M_p]=0[vp(ri)=Mp]=1,[vp(rj)=Mp]=0时,vp(ri+rj)=vp(rj)<Mpv_p(r_i+r_j)=v_p(r_j)<M_pvp(ri+rj)=vp(rj)<Mp,满足
当[vp(ri)=Mp]=0,[vp(rj)=Mp]=1[v_p(r_i)=M_p]=0,[v_p(r_j)=M_p]=1[vp(ri)=Mp]=0,[vp(rj)=Mp]=1时,与上种情况类似
当[vp(ri)=Mp]=1,[vp(rj)=Mp]=1[v_p(r_i)=M_p]=1,[v_p(r_j)=M_p]=1[vp(ri)=Mp]=1,[vp(rj)=Mp]=1时,mp=Mpm_p=M_pmp=Mp,满足
然后就能用nttnttntt优化了
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