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【数学基础】

文章目录

  • 『 第1讲 高等数学预备知识 』
    • 1.1 函数的概念与特性
      • 函数的四种特性
      • 【 重要结论 】
    • 1.2 函数的图像
      • 直角坐标系下的图像
      • 极坐标系下的图像
      • 参数方程
    • 1.3 常用基础知识
    • 【 情报#1 】
  • 『 第2讲 数列极限 』
    • 2.1 引言
    • 2.2 求数列极限
    • 【 情报#2 】

『 第1讲 高等数学预备知识 』

1.1 函数的概念与特性

  • 函数
  • 反函数:函数与反函数的图像、对称
  • 复合函数

函数的四种特性

  • 有界性:“完全包围”,指明区间,无界
  • 单调性:定义法、求导法
  • 奇偶性:特殊的奇偶函数,特点,悬链线
  • 周期性

【 重要结论 】

  • 七条重要结论(p4)

1.2 函数的图像

直角坐标系下的图像

  • 常见图像
    • 基本初等函数:常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数
      • 常数函数:作用
      • 幂函数:图像,定义域、值域,常用幂函数,单调性
      • 指数函数:图像,定义域、值域,单调性,常用指数函数,极限,特殊函数值
      • 对数函数:图像,定义域、值域,单调性,常用对数函数,极限,特殊函数值,常用公式(幂指函数)
      • 三角函数:图像,定义域、值域,奇偶性,周期性,有界性,特殊函数值
        • 正弦函数&余弦函数
        • 正切函数&余切函数
      • 反三角函数:图像,定义域、值域,单调性,奇偶性,有界性,性质
        • 反正弦函数&反余弦函数
        • 反正切函数&反余切函数
    • 初等函数:幂指函数
    • 分段函数:绝对值函数,符号函数,取整函数、两个注意点
  • 图像变换
    • 平移变换:左右、上下
    • 对称变换:x轴、y轴、原点、y=x、绝对值
    • 伸缩变换:水平伸缩、垂直伸缩

极坐标系下的图像

  • 描点法画常见图像
    • 心形线
    • 玫瑰线
    • 阿基米德螺线
    • 伯努利双纽线
  • 直角坐标系观点画极坐标系下图像:画直角系下r,θ图像,对应到极坐标系下

参数方程

  • 摆线:外摆、平摆、内摆
  • 星形线

1.3 常用基础知识

  • 数列
    • 等差数列
    • 等比数列
    • 常见数列前n项和
  • 【 三角函数 】
    • 三角函数基本关系
    • 诱导公式
    • 特殊的三角函数值
    • 重要公式:倍角公式、半角公式、和差公式、积化和差公式/和差化积公式、万能公式
  • 指数运算法则
  • 对数运算法则
  • 一元二次方程基础
  • 因式分解公式
  • 阶乘与双阶乘
  • 【 常用不等式 】

【 情报#1 】

  • 神秘的数字0/1
  • 相同单调性替换放缩,简化计算

『 第2讲 数列极限 』

2.1 引言

2.2 求数列极限

  • 证明1/2:定义 / 性质
    • 【 三部曲 / ε语言 】
    • 数列极限定义:四要素
    • 收敛数列性质:唯一性、有界性、保号性、推论
  • 运算规则
  • 证明3:【 夹逼准则 】
  • 证明4:【 单调有界准则 】

【 情报#2 】

  • 脱帽 / 带帽 公式
  • 重点研究不等关系
  • 十大不等式
  • 无界变量但不是无穷大量
  • 数列收敛,数列子列亦收敛,且极限值相同
  • {An}发散 <= 至少一个子列收敛,或两个子列收敛 但收敛值不同
  • 普遍规律:存在即唯一
  • 思路:
    • 证明An → 0,转化为| An | → 0
    • 单调递推式 => 单调有界准则
  • 证明1:①先写距离,另起<ε ②反解除n的范围:n>g(ε) ③取N=[ g(ε) ] + 1

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