算法沉淀——动态规划之其它背包问题与卡特兰数（leetcode真题剖析）

二维费用的背包问题

01.一和零

题目链接：https://leetcode.cn/problems/ones-and-zeroes/

给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。

请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。

如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。

示例 1：

输入：strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3
输出：4
解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ，因此答案是 4 。
其他满足题意但较小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。{"111001"} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。

示例 2：

输入：strs = ["10", "0", "1"], m = 1, n = 1
输出：2
解释：最大的子集是 {"0", "1"} ，所以答案是 2 。

提示：

• 1 <= strs.length <= 600
• 1 <= strs[i].length <= 100
• strs[i] 仅由 '0' 和 '1' 组成
• 1 <= m, n <= 100

思路

问题转化为二维费用的01背包问题：

1. 状态表示：
   • dp[i][j][k] 表示从前 i 个字符串中挑选，字符 0 的个数不超过 j，字符 1 的个数不超过 k，所有的选法中，最大的长度。
2. 状态转移方程：
   • 根据最后一步的状况，分两种情况讨论：
     • 不选第 i 个字符串：相当于去前 i - 1 个字符串中挑选，并且字符 0 的个数不超过 j，字符 1 的个数不超过 k。此时的最大长度为 dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k]。
     • 选择第 i 个字符串：接下来在前 i - 1 个字符串中挑选，字符 0 的个数不超过 j - a，字符 1 的个数不超过 k - b 的最大长度，然后在这个长度后面加上字符串 i。此时 dp[i][j][k] = dp[i - 1][j - a][k - b] + 1。需要特判这种状态是否存在。
   • 综上，状态转移方程为：dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i - 1][j - a][k - b] + 1)。
3. 初始化：
   • 当没有字符串的时候，没有长度，因此初始化为 0。
4. 填表顺序：
   • 保证第一维的循环从小到大即可。
5. 返回值：
   • 根据状态表示，返回 dp[l][m][n]。

代码

class Solution {
public:int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {int l=strs.size();vector<vector<vector<int>>> dp(l+1,vector<vector<int>>(m+1,vector<int>(n+1)));for(int i=1;i<=l;i++){int a=0,b=0;for(char ch:strs[i-1])if(ch=='0') a++;else b++;for(int j=m;j>=0;j--)for(int k=n;k>=0;k--){dp[i][j][k]=dp[i-1][j][k];if(j>=a&&k>=b) dp[i][j][k]=max(dp[i][j][k],dp[i-1][j-a][k-b]+1);}}return dp[l][m][n];}
};

02.盈利计划

题目链接：https://leetcode.cn/problems/profitable-schemes/

集团里有 n 名员工，他们可以完成各种各样的工作创造利润。

第 i 种工作会产生 profit[i] 的利润，它要求 group[i] 名成员共同参与。如果成员参与了其中一项工作，就不能参与另一项工作。

工作的任何至少产生 minProfit 利润的子集称为 盈利计划 。并且工作的成员总数最多为 n 。

有多少种计划可以选择？因为答案很大，所以 返回结果模 10^9 + 7 的值。

示例 1：

输入：n = 5, minProfit = 3, group = [2,2], profit = [2,3]
输出：2
解释：至少产生 3 的利润，该集团可以完成工作 0 和工作 1 ，或仅完成工作 1 。
总的来说，有两种计划。

示例 2：

输入：n = 10, minProfit = 5, group = [2,3,5], profit = [6,7,8]
输出：7
解释：至少产生 5 的利润，只要完成其中一种工作就行，所以该集团可以完成任何工作。
有 7 种可能的计划：(0)，(1)，(2)，(0,1)，(0,2)，(1,2)，以及 (0,1,2) 。

提示：

• 1 <= n <= 100
• 0 <= minProfit <= 100
• 1 <= group.length <= 100
• 1 <= group[i] <= 100
• profit.length == group.length
• 0 <= profit[i] <= 100

思路

1. 状态表示：
   • dp[i][j][k] 表示从前 i 个计划中挑选，总人数不超过 j，总利润至少为 k，有多少种选法。
2. 状态转移方程：
   • 根据最后一位的元素，有两种选择策略：
     • 不选第 i 位置的计划：此时只能在前 i - 1 个计划中挑选，总人数不超过 j，总利润至少为 k。此时有 dp[i - 1][j][k] 种选法。
     • 选择第 i 位置的计划：在前 i - 1 个计划中挑选的限制变成了，总人数不超过 j - g[i]，总利润至少为 max(0, k - p[i])。此时有 dp[i - 1][j - g[i]][max(0, k - p[i])] 种选法。
   • 注意特殊情况：
     • 如果 j - g[i] < 0，说明人数过多，状态不合法，舍去。
     • 对于 k - p[i] < 0，说明利润太高，但问题要求至少为 k，因此将其取 max(0, k - p[i])。
   • 综上，状态转移方程为：dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k] + dp[i - 1][j - g[i]][max(0, k - p[i])]。
3. 初始化：
   • 当没有任务时，利润为 0。在这种情况下，无论人数限制为多少，都能找到一个「空集」的方案。因此初始化 dp[0][j][0] 为 1，其中 0 <= j <= n。
4. 填表顺序：
   • 根据状态转移方程，保证 i 从小到大即可。
5. 返回值：
   • 根据状态表示，返回 dp[l][m][n]，其中 l 表示计划数组的长度。

代码

class Solution {const int MOD=1e9+7;
public:int profitableSchemes(int n, int m, vector<int>& group, vector<int>& profit) {int l = group.size();vector<vector<vector<int>>> dp(l+1,vector<vector<int>>(n+1,vector<int>(m+1)));for(int j=0;j<=n;j++) dp[0][j][0]=1;for(int i=1;i<=l;i++)for(int j=0;j<=n;j++)for(int k=0;k<=m;k++){dp[i][j][k]=dp[i-1][j][k];if(j>=group[i-1]) dp[i][j][k]+=dp[i-1][j-group[i-1]][max(0,k-profit[i-1])];dp[i][j][k]%=MOD;}return dp[l][n][m];}   
};

似包非包

组合总和 Ⅳ

题目链接：https://leetcode.cn/problems/combination-sum-iv/

给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。

题目数据保证答案符合 32 位整数范围。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3], target = 4
输出：7
解释：
所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。

示例 2：

输入：nums = [9], target = 3
输出：0

提示：

• 1 <= nums.length <= 200
• 1 <= nums[i] <= 1000
• nums 中的所有元素 互不相同
• 1 <= target <= 1000

思路

注意这里题目意思容易混淆概念，其实这里是一个排列问题而并非组合问题，所以应该是普通的动态规划问题

1. 状态表示：
   • dp[i] 表示总和为 i 时，一共有多少种排列方案。
2. 状态转移方程：
   • 对于 dp[i]，根据最后一个位置划分，选择数组中的任意一个数 nums[j]，其中 0 <= j <= n - 1。
   • 当 nums[j] <= i 时，排列数等于先找到 i - nums[j] 的方案数，然后在每一个方案后面加上一个数字 nums[j]。
   • 因为有很多个 j 符合情况，状态转移方程为：dp[i] += dp[i - nums[j]]，其中 0 <= j <= n - 1。
3. 初始化：
   • 当和为 0 时，我们可以什么都不选，即「空集」一种方案，因此 dp[0] = 1。
4. 填表顺序：
   • 根据状态转移方程，从左往右填表。
5. 返回值：
   • 根据状态表示，返回 dp[target] 的值。

代码

class Solution {
public:int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {vector<double> dp(target+1);dp[0]=1;for(int i=1;i<=target;i++)for(int& x:nums)if(x<=i) dp[i]+=dp[i-x];return dp[target];}
};

卡特兰数

不同的二叉搜索树

题目链接：https://leetcode.cn/problems/unique-binary-search-trees/

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入：n = 3
输出：5

示例 2：

输入：n = 1
输出：1

提示：

• 1 <= n <= 19

思路

1. 状态表示：
   • dp[i] 表示当结点数量为 i 个时，一共有多少颗 BST。
2. 状态转移方程：
   • 对于 dp[i]，选择每一个结点 j 作为头结点，分析不同头结点的 BST 数量。
   • 根据 BST 的定义，j 号结点的左子树的结点编号在 [1, j-1] 之间，有 j-1 个结点，右子树的结点编号在 [j+1, i] 之间，有 i-j 个结点。
   • 因此，j 号结点作为头结点的 BST 种类数量为 dp[j-1] * dp[i-j]。
   • 综合每一个可能的头结点，状态转移方程为：dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j]，其中 1 <= j <= i。
3. 初始化：
   • dp[0] 表示空树，也是一颗二叉搜索树，因此 dp[0] = 1。
   • 针对 i 从 1 开始的情况，需要通过 dp[j-1] * dp[i-j] 来计算。
4. 填表顺序：
   • 从左往右填表，保证每一步都有所依赖的子问题的解。
5. 返回值：
   • 返回 dp[n] 的值，表示结点数量为 n 时的 BST 种类数量。

代码

class Solution {
public:int numTrees(int n) {vector<int> dp(n+1);dp[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=i;j++)dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j];return dp[n];}
};