动态规划6，最大数组和，环形子数组最大和，乘积最大子数组

最大子数组和

思路：

1.经验+题目要求

dp[i]表示：以 i 位置为结尾的所有子数组中的最大和

2.状态转移方程

按长度来划分，如果长度为1，那么dp[i] = nums[i];
如果长度大于1，那么当前位置的最大和就为 i-1 位置最大和 + 当前位置，dp[i] = dp[i-1] + nums[i];

然后每一次都要取他们两个中的最大值。

存在 dp[i-1] , 建表时候多建一格，dp[0]位置为0 就不影响后面的填表

4 .
从左往右填表。

class Solution {
public:int maxSubArray(vector<int>& nums) {int n = nums.size();vector<int> dp(n+1);int ret = INT_MIN;//为了不影响比较for(int i = 1 ; i<=n; i++){dp[i] = max(nums[i-1],dp[i-1]+nums[i-1]);ret = max(dp[i],ret);//找出dp表里面的最大值}return ret;}
};

环形子数组的最大和

思路：

区别于上一道题，这一题变成了环形，也就是多了两边的情况，而两边的情况很复杂，我们可不可以把两边问题换为两种上一道题思路的简单问题？

最大数组和只有两种情况，看 1 在里面的情况，这就跟上一道题一样
看 2 ，当最大数组和在两边的时候，我们可以求出最小数组和的情况，然后sum - min。

步骤及思路都跟上一题一样，无非变成了求一个最大和表和一个最小和表，然后比较max(最大和，sum-最小和)；

但是对于返回值，有点变化：

对于[-2 , -3 , -1], 最大和为-1， 但是最小和为-2 + -3 + -1 ，和sum是一样的，这时候最小和就变为了错误的0；
所以对于返回值要处理， 最小和 == sum的时候，返回最大和，不然返回max(最大和，sum-最小和)。

class Solution {
public:int maxSubarraySumCircular(vector<int>& nums) {int n = nums.size();vector<int> f(n+1);//建表auto g = f;int ret1 = INT_MIN;//不影响比较int ret2 = INT_MAX;int num = 0;for(int i = 1; i<=n; i++){f[i] = max(nums[i-1],f[i-1]+nums[i-1]);ret1 = max(ret1,f[i]);g[i] = min(nums[i-1],g[i-1]+nums[i-1]);ret2 = min(ret2,g[i]);num+=nums[i-1]; //求nums和}return num == ret2 ? ret1 : max(ret1,num - ret2);}
};

乘积最大子数组

思路：

1.经验+题目要求

dp[i]表示：以 i 位置为结尾的所有子数组中的最大乘积

2.状态转移方程

按长度来划分，如果长度为1，那么dp[i] = nums[i];
如果长度大于1，那么当前位置的最大和就为 i-1 位置最大和 + 当前位置，dp[i] = dp[i-1] * nums[i];

但是因为有正负，前面可能还是乘积最大，后一个数为负数，一下就变成了乘积最小；
相反，前面乘积最小，后一个数为负数，一下就就变成了乘积最大。

所以也要建一个乘积最小表。

f 表是乘积最大表，g 表是乘积最小表，
对于 f 表来讲，如果长度为1，f[i] = nums[i];
如果长度大于1，但是下一个数大于0，那么f[i] = f[i-1] * nums[i];
如果长度大于1，但是下一个数小于0，那么f[i] = g[i-1] * nums[i];
比较这三者的最大值并填入 f 表即可。 g表同理。

为了不影响乘积之间的填表，初始化f[0] = g[0] = 1就可以。

4.从左往右，两个表一起填写。

class Solution {
public:int maxProduct(vector<int>& nums) {int n = nums.size();vector<int> f(n+1);auto g = f;int ret1 = INT_MIN;int ret2 = INT_MAX;f[0] = g[0] = 1;for(int i = 1; i<=n; i++){f[i] = max(nums[i-1],max(f[i-1]*nums[i-1], g[i-1]*nums[i-1]));ret1 = max(f[i],ret1);g[i] = min(nums[i-1],min(g[i-1]*nums[i-1], f[i-1]*nums[i-1]));ret2 = min(g[i],ret2);}return ret1;}
};

乘积为正数的最长子数组长度

思路：

1.经验+题目要求

dp[i]表示：以 i 位置为结尾的所有子数组中乘积为正数的最长长度。

2.状态转移方程

首先细分，当长度为1的时候，如果nums[i] > 0 ,则为1；
当长度为1的时候，如果nums[i] < 0 ,则为0；
当长度大于1的时候，如果nums[i] > 0 ,则为f[i-1] + 1；
当长度大于1的时候，如果nums[i] < 0 ,则为g[i-1] + 1；但是这个g[i-1] + 1真的对吗？当g[i-1] 为0的时候，也就是前面乘积为正数，乘完nums[i] 后长度就变成0了，但是g[i-1] + 1结果为1，明显是错误的，所以应该判断 g[i-1] == 0 ? 0 : g[i-1] + 1;

再次划分情况，对于nums[i] > 0 的情况，f[i-1] + 1最次也为1，占主导；
对于nums[i] < 0 的情况，g[i-1] == 0 ? 0 : g[i-1] + 1;最次也为0，占主导；
就可以总结为下面那两种占主导的情况。

g[i] 也是如此。

3.
因为题目问的是长度，初始化f[0] = g[0] = 0;

4.从左往右，两个表一起填写。

class Solution {
public:int getMaxLen(vector<int>& nums) {int n = nums.size();vector<int> f(n+1);auto g = f;int ret = INT_MIN;for(int i =1; i<=n; i++){if(nums[i-1] > 0){f[i] = f[i-1]+1;g[i] = g[i-1] == 0 ? 0 : g[i-1]+1;}else if(nums[i-1] < 0){f[i] = g[i-1] == 0 ? 0 : g[i-1]+1;g[i] = f[i-1]+1;}ret = max(ret,f[i]);}return ret;}
};