计算机组成原理之运算方法和运算器

数据格式

定点数

• 定点数就是数据的小数点的位置是固定不变的，通常将数据表示成纯小数或纯整数
• 以$n+1$ 位数表示定点数，以$Xn$表示定点数的正负（0 为正数，1表示负数）
• 对于$n+1$位定点数，小数点位于$Xn$ 和 $Xn-1$之间，当每一个数位都是0时，绝对值最小为0，当全部数位为1时，绝对值最大为$1-2^{-n}$
• 对于定点整数，表示的范围是$0<=|x|<=2^n-1$

浮点数

• 计算机中，任意的二进制数N 可以写成：$N=2^e.M$
  其中，M 是一个纯小数，称为尾数，e 是浮点数的指数，是一个整数，称为阶码

机器码表示

原码

• 通俗来说就是，符号位加上二进制的绝对值
• 对于0，有+0和-0的两种表示方法
• 缺点：加法运算复杂

反码

• 正数的反码与原码相同，负数的反码就是负数的原码符号位不变，数值位取反

补码

• 对于正数的补码就是原码
• 对于定点整数，负数的补码在计算上面可以由反码加1得到；但是从定义上看，我们用n+1 为数来表示一个定点整数，其中$Xn$为符号位，那么就有
  $[x]补=2^{n+1}-|x|$ ,其实从实际意义上就是用正数多于的部分来表示负数
• 采用补码的话，0的表示方法只有一种，并且无论数字为正数还是负数，机器总是做加法运算

数的补码与真值

• $[x{]}_{补}=X_n{X}_{n-1}{X}_{n-2}....X_1{X}_0$
  对于上面的形式：$x=-2^n{X}_n+{\sum }_{i=0}^{n-1}{2}^i{x}^i$
• 如何更好理解？
• 对于正数来说，由于符号位为0，那么就直接根据权重展开就可以
• 对于负数来说，由于符号位为1，那么就是包括符号位共n+1位的情况下，就用$-2^n$去加上偏移量，就是后面的一堆的数字的权重即可，具体而言就是以一个时钟为例子：
  一共由60份，本来是$[0,60]$，但是现在我用$[0,30]$来表示正数，$[30,60$来表示原本的$[-30,0]$,并且-30 的位置与30 的位置重合，那么具体如何求回本身的负数呢？就是目前的位置逆时针转动一圈即可，就是-60

移码

• 移码通常表示浮点数的阶码，移码的定义为：
  $[e{]}_{移}=2^k+e$,$2^k>e>=-2^k$
  其中$[x{]}_{移}$ 为机器码，e 表示真值，$2^k$是一个固定的偏移值常数

IEEE754标准

• 对于32位浮点数：符号位在最高位（1位），E 是阶码位（8位），M 是尾数位（23位）
• 浮点数的指数真值e 变成阶码的时候加上127 即
  $E=e+127$
  规格化表示：一个规格化的32位浮点数x 的真值表示为
  $x=(-1{)}^S\ast (1.M)\ast 2^{E-127}$