【通信原理笔记】【二】随机信号分析——2.2 平稳随机过程

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前言

我们学习了随机信号以及随机信号的相关函数与功率谱的计算方法，但是这种计算还是十分复杂的。比如仅仅是求期望函数，就需要抽样很多样本去求均值。因此，我们有必要找到随机过程的一些关键性质，使得我们在分析这种具备特殊性质的随机信号时，能够更加方便快捷。这就是这篇将要介绍的平稳随机过程。

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一、平稳随机过程

1.1 广义平稳过程

在本系列笔记中仅讨论广义平稳过程，也叫宽平稳过程。这种平稳过程条件更加宽松，即随机过程$X(t)$的均值与时间无关，自相关函数只与时间差有关：

$E(X(t))=m_X$
$R_X(t,t+\tau )=E(X(t)X(t+\tau )=R_X(\tau )$

从这个定义就可以理解到所谓“平稳”的含义，其实就是随机过程的期望不会随着时间的改变而变化，其自相关函数对应的功率谱能量谱也不会因为时间改变而变化，始终处于一种稳定的状态。

1.2 遍历性

有了平稳过程，我们就不用对每个时刻都去计算他们的均值和相关函数了。但是考虑怎么去求这个期望$m_X$，我们还是需要采样足够多的样本函数，这是十分麻烦的。我们知道随机过程的每个时刻的取值，都相当于一个随机变量。

如果说任意一个样本函数都能经历所有的随机变量取值，那我们是不是就不需要抽样那么多的样本函数，而是在一个样本函数上从时间轴去采样，就能采到所有不同的随机变量取值，也就能计算数学期望了？这种性质，就叫做遍历性。注意！我们讨论这种性质是基于平稳过程的前提，也就是这个性质只是用于描述一种更为特殊的平稳过程。

为了加深理解，这里给出一个例子，考虑一个平稳过程$X(n)$，$n$取值为正整数。该随机过程表示的是每次等概地从两个质地均匀的骰子里取出一个进行投掷（$x_1(n)$，$x_2(n)$），其中$x_1(n)$结果只有1-3，而$x_2(n)$结果是4-6。容易知道这样一个随机过程是一个平稳过程，其均值自相关函数与抛掷序列$n$无关。（其实其分布也与抛掷次序无关，是一个严平稳过程。）其均值为：

$E(X(n))=E(x_1(n))/2+E(x_2(n))/2=1+5/2=7/2$

但是，这不是一个遍历平稳过程，因为任意一个样本函数，也就是任意选一个骰子，都没有办法历经全部的随机变量取值。由此可见，遍历性是一个非常严苛的条件。

二、两个随机过程之间的关系

2.1 联合平稳

平稳过程是根据均值和自相关函数定义的，那么根据两个随机过程$X(t)$和$Y(t)$的互相关函数的关系也就可以定义联合平稳过程：两个平稳过程的互相关函数只与时间差有关时，称这两个平稳过程联合平稳，公式表示如下：

$R_{XY}(t,\tau )=E(X(t)Y(t+\tau ))=R_{XY}(\tau )$

需要注意，联合平稳指的是两个平稳过程之间的一种关系，要求每个随机过程各自本身要是平稳的。

2.2 随机过程的相关关系

2.2.1 随机变量的不相关

首先复习一下概率论中我们学习的随机变量的相关性的定义：若有随机变量$X,Y$满足：

$E(XY)=EXEY$

则称这两个随机变量不相关。对其做方差归一化，可以给出随机变量的归一化相关系数：

${\rho }_{XY}=E(XY)/\sqrt{E{X}^{2}E{Y}^2}$

需要注意的是，这里是默认是零均值，所有方差直接就是EX^2。在概率论中随机变量相关系数的一般形式为

${\rho }_{XY}=\frac{EXY-EXEY}{\sqrt{E{X}^{2}E{Y}^2}}$

在通信原理中大多数情况都会把随机过程变成零均值来分析，所以变成了上述的形式。因为这样方差就和信号的功率等同起来了。相关系数为0则说明不相关，与不相关定义一致。相关系数大于0则称两个随机变量正相关，反正则负相关。

2.2.2 随机过程的不相关

类似的可以给出随机过程的相关性定义，对随机过程$X(t),Y(t)$而言，任意两个时刻$t_1,t_2$的均值满足：

$E(X(t_1)E(Y(t_2)))=EX(t_1)EY(t_2)$

则称两个随机过程不相关，也可以将条件放宽一点，得到两个随机过程同一时刻不相关的定义，即任意时刻$t$，两个随机过程所取的随机变量不相关。同样有随机过程的相关系数

${\rho }_{XY}(t,\tau )=\frac{E(X(t)Y(t+\tau ))}{\sqrt{E{X}^2(t)E{Y}^2(t+\tau )}}$

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总结

这篇主要给出了平稳随机过程的定义，以及两个随机过程之间的关系，包括联合平稳和相关关系。与概率论中的内容不完全相同，通信原理中不太关心具体的概率分布上的事情，而是随机信号的统计特征，如相关函数相关系数等。

也可以联系对比之前学过的确定信号分析的内容，相关函数等概念的定义其实都是类似的，只是引入随机性后多了取数学期望的操作。下一篇将会进一步分析平稳过程具有哪些性质，从而让大家明白为什么在通信原理中我们比较好处理平稳过程。