0202矩阵的运算-矩阵及其运算-线性代数

一、矩阵的加法

定义2 设有两个$m\times n$橘子$A=(a_{ij})和B=(b_{ij})$,那么矩阵A与B的和记为A+B,规定为
$$A+B=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \cdots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \cdots & a_{2n}+b_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \cdots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right)$$

**tips:**只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。

矩阵加法满足下列运算规律（设A，B，C都是$m\times n$矩阵）：

• $A+B=B+A$
• $(A+B)+C=A+(B+C)$

设矩阵$A=(a_{ij})$，记

$-A=(-a_{ij})$

-A称为矩阵A的负矩阵，显示有

$A+(-A)=O$

矩阵的减法为

$A-B=A+(-B)$

二、数与矩阵相乘

定义3 数$\lambda$与矩阵A的乘积记作$\lambda A或A\lambda$,规定为
$$\lambda A=A\lambda =\left(\begin{array}{cccc}\lambda a_{11}& \lambda a_{12}& \cdots & \lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21}& \lambda a_{22}& \cdots & \lambda a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \lambda a_{m1}& \lambda a_{m2}& \cdots & \lambda a_{mn}\end{array}\right)$$

数乘矩阵满足下列运算规律（设A、B为$m\times n$矩阵，$\lambda 、\mu$为数）：

• $(\lambda \mu )A=\lambda (\mu A)$
• $(\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A$
• $\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$

矩阵加法和数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。

三、矩阵与矩阵相乘

定义4 设$A=(a_{ij})是一个m\times s$的矩阵,$B=(b_{ij})是一个s\times n$的矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个$m\times n$矩阵$C=(c_{ij})$，其中

$c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{is}{b}_{sj}={\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{jk},(i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n)$

并把此乘积记作

$C=AB$

说明：

• 乘积矩阵$AB=C的(i,j)元c_{ij}$就是A的第$i$行和B的第$j$列的乘积。
• 只有当第一个矩阵的（左矩阵）的列数等于第二个矩阵的（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。

例5 求矩阵
$$A=\left(\begin{array}{cccc}4& -1& 2& 1\\ 1& 1& 0& 3\\ 0& 3& 1& 4\end{array}\right)与B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\\ 3& 0\\ -1& 2\end{array}\right)$$
的乘积
$$\begin{gathered} C=AB=\left(\begin{array}{cc}4+0+6-1& 8-1+0+2\\ 1+0+0-3& 2+1+0+6\\ 0+0+3-4& 0+3+0+8\end{array}\right) \\ =C=AB=\left(\begin{array}{cc}9& 9\\ -2& 9\\ -1& 11\end{array}\right) \end{gathered}$$
例6 求矩阵
$$A=\left(\begin{array}{cc}-2& 4\\ 1& -2\end{array}\right)与B=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -3& -6\end{array}\right)$$
的乘积AB级BA
$$\begin{gathered} AB=\left(\begin{array}{cc}-16& -32\\ 8& 16\end{array}\right) \\ BA=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right) \end{gathered}$$
tips:

• $AB$有意思，但是$BA$不一定有意义；若$BA$有意义，但AB与BA不一定相等。
• 对于n阶方阵A、B，若AB=BA,则称方阵A与B可交换。
• 若两个矩阵A、B满足$AB=O$，不能得出$A=O或B=O$；若$A\ne O$而$A(X-Y)=O$,不能得出$X=Y$的结论。

矩阵的乘法虽不满足交换律，但仍满足下列结合律和分配律（假设运算都是可行的）：

• $(AB)C=A(BC)$
• $\lambda (AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$
• $A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA$

对于单位矩阵E，容易验证

$E_M{A}_{m\times n}=A_{m\times n},A_{m\times n}{E}_n=A_{m\times n}$

或简写EA=AE=A

矩阵
$$\left(\begin{array}{cccc}\lambda & & & \\ & \lambda & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda \end{array}\right)$$
称为纯量阵。由$(\lambda E)A=\lambda A,A(\lambda E)=\lambda A$，可知纯量阵$\lambda E与矩阵A$的乘积等于数$\lambda$与A的乘积，当A位n阶方阵时，有

$(\lambda E)A_n=\lambda A_n=A_n(\lambda E)$

表名纯量阵$\lambda E$与任何同阶方阵都是可交换的。

矩阵的幂：设A是n阶方阵，定义$A^1=A,A^2=A^1{A}^1,\cdots ,A^{k+1}=A^k{A}^1$

其中$k$为正整数。

矩阵的幂满足以下运算规律

• $A^K{A}^l=A^{k+l},(A^k{)}^l=A^{kl}$

当矩阵A与B可交换时，满足下列运算规律

• $(AB{)}^k=A^k{B}^k$
• $(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$
• $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$

例7 上阶例1中n元线性方程组(1)
$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_1,\\ \cdots \cdots \cdots \\ a_m{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_1,\end{array}$$
利用矩阵乘法可写成矩阵形式

$A_{m\times n}{x}_{n\times 1}=b_{m\times 1}$

其中$A=(a_{ij})$为系数矩阵，$x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$为未知数矩阵，$b=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right)$为常数项矩阵。特别当b=O时，得到吗哥方程的n元齐次线性方程组的矩阵形式

$A_{m\times n}{x}_{n\times 1}=0_{m\times 1}$

四、矩阵的转置

定义5 把矩阵A的行换成同序列的列得到一个新的矩阵，叫做A的转置矩阵，记作$A^T$.

矩阵的转置也是一种运算，满足下列运算过滤（假设运算都是可行的）：

• $(A^T{)}^T=A$
• $(A+B{)}^T=A^T+B^T$
• $(\lambda A{)}^T=\lambda A^T$
• $(AB{)}^T=B^T{A}^T$

例8 已知
$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 1& 3& 2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}1& 7& -1\\ 4& 2& 3\\ 2& 0& 1\end{array}\right)$$
求$(AB{)}^T$
$$\begin{gathered} AB=A=\left(\begin{array}{ccc}0& 14& -3\\ 17& 13& 10\end{array}\right) \\ (AB{)}^T=\left(\begin{array}{cc}0& 17\\ 14& 13\\ -3& 10\end{array}\right) \end{gathered}$$

五、方阵的行列式

定义6 有n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方程A的行列式，记作$detA或者|A|$

有A确定$|A|$的这个运算满足下述运算规律（设A、B位n阶方阵，$\lambda $为数:

1. $$|A^T|=|A|$$
2. $$|\lambda A|={\lambda }^n|A|$$
3. $$|AB|=|A||B|$$

伴随矩阵：

行列式$|A|$的各个元素的代数余子式$A_{ij}$所构成的如下的矩阵
$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)$$
称为矩阵A的伴随矩阵，简称伴随阵。

$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$

结语

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参考：

[1]同济大学数学系.工程数学.线性代数 第6版 [M].北京:高等教育出版社,2014.6.p29-39.

[2]同济六版《线性代数》全程教学视频[CP/OL].2020-02-07.p9.