理解Harris角点检测的数学原理

Harris角点检测的数学原理

Harris角点检测基于图像的局部自相似性，它通过分析图像窗口在各个方向上移动时灰度变化的程度来识别角点,它通过计算每个像素点的Harris响应值来评估该点是否为角点。数学上，这种变化可以通过构建一个二次型函数来量化，该函数基于图像在x和y方向上的一阶导数（即图像的梯度），以及梯度的二次项的组合。

一、数学题目第一题

假设我们有一个图像区域的灰度函数 $I(x,y)$，其中 $x,y$ 分别是图像上的横纵坐标。我们对 $I(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 附近进行泰勒展开，忽略二阶及以上项，考虑一个小窗口移动了 $(\Delta x,\Delta y)$ 后的灰度变化 $E(\Delta x,\Delta y)$：

$$E(\Delta x,\Delta y)=\sum _{x,y}w(x,y)[I(x+\Delta x,y+\Delta y)-I(x,y){]}^2$$

其中，$w(x,y)$ 是窗口函数，通常为高斯窗口，用于给窗口内的像素点赋予权重。

1. 请简化上述 $E(\Delta x,\Delta y)$ 表达式，展示如何利用图像的梯度（$I_x,I_y$）和高斯权重来近似计算 $E(\Delta x,\Delta y)$。
2. 说明Harris角点检测中“角点”的数学特性是什么？
3. 如果给定一个简单的图像区域，其中 $I_x=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$ 和 $I_y=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]$，并假设 $w(x,y)=1$ （即不考虑权重），求该区域的Harris响应函数值。

解答过程

1. 简化 $E(\Delta x,\Delta y)$：

   通过泰勒展开，我们可以得到：

   $$I(x+\Delta x,y+\Delta y)\approx I(x,y)+I_x(x,y)\Delta x+I_y(x,y)\Delta y$$

   将其代入 $E(\Delta x,\Delta y)$ 的表达式中，并简化：

   $$E(\Delta x,$$