蓝桥杯算法基础（32）：素数，埃式筛法，快速幂，斐波那契与矩阵幂运算

素数

有些人认为一个人一生中有三个周期，从他或她出生的那一天开始。
这三个周期是身体周期，情感周期的和智力的周期，他们有周期的长度为23，28，
和33天。每一个周期都有一个高峰。在一个周期的高峰期，
一个人在他/她在相应的领域（身体，情绪或精神）。
例如，如果它是心理曲线，思维过程会更清晰和集中会更容易。
由于三个周期有不同的周期，所以这三个周期的峰值一般发生在不同的时间。
我们想确定何时发生绝对高潮（所有三个周期的峰值发生在同一天）。
因为处于绝对高潮时人各方面均表现优异，因此人们想知道绝对高潮在哪一天出现。
对身体周期，情绪周期和智力周期，给出本年内他们各自的一个高潮日（不一定是第一个）后经过的天数p，e，i。另外，给出本年内已经经过的天数d(d>=0).求出在d所代表的日期多少天后，
三种周期的高潮日又一次在同一天出现。输入：输入数据有多组，每组测试数据占一行，有四个整数，p,e,i和d.  p,e,i 分别代表从0开始计时，身体周期，情感周期和智力周期首次出现高潮的日期，要求编程计算经过d后多少天第一个绝对高潮出现，输入保证绝对高潮在21252内的某一天出现。输入以-1，-1，-1结束。输出：例如：Case 1: the next triple peak occurs in 1234 days.23 28 33
d1 d2 d3d1+23k1=x
d2+28k2=x
d3+33k3=xx≡d1 %23≡d2 %28≡d3 %33//延续上体的解题方法
//逐级合并法
x=a1(%m1)=a2(%m2)=a3(%m3)
x=a1+m1y1 (1)
x=a2+m2y2
==>m1y1-m2y2=a2-a1这是一个线性方程可解出y1  linearEquation(m1,m2,a2-a1)带回（1）.得特解x0=a1+m1*y1-->x=x0+k*lcm(m1,m2)得一个新方程//lcm(m1,m2)，m1,m2得公倍数x≡x0 (%lcm(m1,m2))形成新的a(x0),新的m(lcm(m1,m2))public static void main(String[] args)throws Exceeption{Scanner sc= new Scanner(System.in);int t=1;List<long[]> aList=new ArrayList<long[]>();List<long> dList=new ArrayList<long>();while(sc.hasNext()){long[] a={sc.nextLong(),sc.nextLong(),sc.Long()};long d=sc.nextLong();if(a[0]==-1&&a[1]==-1&&a[2]=-1&&d==-1)break;else{aList.add(a);aList.add(d);}}for(int i=0;i<aList.size();i++){long[] a=aList.get(i);long d=dList.get(i);long[] m={23,28,33};long res=Case05_ExtGcd.linearEquationGroup(a,m);while(res<=d){res+=21252;//保证在21252内，就是以21252为模}System.out.println("Case"+(t++)+": the next triple peak occurs in"+(res-d)+"days");}}

埃式筛法

public static void mian(){long now=System.currentTimeMillis();m1(100000);System.out.println(”耗时“+(System.currentTimeMillis()-now)+"ms" );
}private static void  m1(int N){//N是第N个素数//已知在整数X内大概有x/log(X)个素数//现在我们要逆推，要想求第N个素数，我们的整数范围是社么//length就是整数范围int n=2;while(n/log(n)<N){//n个数中，大概有n/log(n)个素数n++;}//开辟一个数组，下标是自然数，值是标记//基本思路是筛选法，把非素数标记出来//int[] arr=new int[n];int x=2;while(x<n){//标记过了。继续下一个if(arr[x]!=0){continue;}int k=2;//对每个x，我们都从2倍开始，对x的k倍，全部标记-1while(x*k<n){arr[x*k]=-1;k++;}x++;}//System.out,println(arr);//筛完之后，这个很长的数组里面非素数下标对应的值都是-1int sum=0;for(int i=2;i<arr.length;i++){//是素数，计数+1if(arr[i]==0){sum++;}if(sum==N){System.out,println(i);}}
}

 快速幂

反复平方
a^10    8 0 2 01 0 1 0
a^(2^3) a^(2^2) a^(2^1) a^(a^0);将次方转成二进制，哪一位有1，就乘以那一位所在的a的平方值
如 a^10=a^(2^3)*a(2^1)public static long ex2(long n,long m){long primeFangShu = n;//n的1次方long result=1;while(m!=0){if((m&1)==1){result*=pingFangShu;//每移位一次，幂累成方一次pingFangShu=pingFangShu*pingFangShu;//无论等不等于1，次方都成倍乘//右移一位m>>=1;}return result;}}

 斐波那契与矩阵幂运算

(f1.f2)=(1,1)(f1,f2)*[0 1]=[f2.f3] //0+1=1=f1,1+1=2=f3=f1+f2[1 1](f1.f2)*[0 1]^2=[f3,f4][1 1]....递推[f1,f2]*[0 1]^n-1=[fn,fn+1][1 1]public static long fib(long n){if(n==1||n==2)return1;long[][] matrix={{0,1},{1,1}};long[][] res=Util.matrixPower(matrix,n-1);//矩阵的乘方res=Util.matrixMultiply(new long[][]{(1,1)},res);//矩阵的乘方与f1f2相乘return res[0][0];}public long[][] matrixPower(long[][] matrix,long p){//初始化结果为单位矩阵，对角线为1
long[][] result=new long[matrix.length][matrix[0].length];
//单位矩阵。相当于整数的1for(int i=0;i<result.length;i++){result[i][i]=1;}//平方数
long[][] pingFang=matrix;//一次方for(;p!=0;p++){while(p!=0){if((p&1)!=0){//当前二进制最低位1，将当前平方数乘到结果中result=matrixMultiply(result,pingFang);}平方数继续上翻pinFang=matrixMultiply(pingFang,pingFang);p>>1;}return result;
}}