竞赛常考的知识点大总结(七)图论

最短路

最短路问题（Shortest Path Problem）是图论中的一个经典问题，它要求在给定的图中找到两个顶点之间的最短路径。最短路问题可以是单源最短路问题（从一个顶点到其他所有顶点的最短路径）或所有对最短路问题（任意两个顶点之间的最短路径）。

特点：

1.图论问题：最短路问题是图论中的一个基本问题，通常在加权图中求解。

2.权重：图中的边具有权重，最短路问题的目标是最小化路径的权重总和。

3.多种算法：存在多种算法可以解决最短路问题，如迪杰斯特拉算法（Dijkstra's Algorithm）、贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford Algorithm）、Floyd-Warshall算法等。

4.应用广泛：最短路问题在现实世界中有广泛的应用，如网络路由、交通规划、物流调度等。

常见用法：

1.网络路由：在网络设计中，最短路算法用于确定数据包的最佳传输路径。

2.交通规划：在交通规划中，最短路算法用于计算两点之间的最短行驶路径。

3.物流调度：在物流调度中，最短路算法用于优化货物的配送路径。

4.游戏开发：在游戏开发中，最短路算法用于AI寻路和地图探索。

经典C语言例题：

题目： 使用迪杰斯特拉算法解决单源最短路问题。

示例代码：

#include <stdio.h>
#include <limits.h>// 定义图的结构体
typedef struct Graph {int V; // 顶点数量int** adjMatrix; // 邻接矩阵
} Graph;// 创建图的函数
Graph* createGraph(int V) {Graph* graph = (Graph*)malloc(sizeof(Graph));graph->V = V;graph->adjMatrix = (int**)malloc(V * sizeof(int*));for (int i = 0; i < V; i++) {graph->adjMatrix[i] = (int*)malloc(V * sizeof(int));memset(graph->adjMatrix[i], INT_MAX, V * sizeof(int));graph->adjMatrix[i][i] = 0;}return graph;
}// 添加边的函数
void addEdge(Graph* graph, int src, int dest, int weight) {graph->adjMatrix[src][dest] = weight;graph->adjMatrix[dest][src] = weight; // 无向图
}// 迪杰斯特拉算法函数
void dijkstra(Graph* graph, int src) {int* dist = (int*)malloc(graph->V * sizeof(int));int* sptSet = (int*)malloc(graph->V * sizeof(int));for (int i = 0; i < graph->V; i++) {dist[i] = INT_MAX;sptSet[i] = 0;}dist[src] = 0;for (int count = 0; count < graph->V - 1; count++) {int u = -1, min = INT_MAX;for (int v = 0; v < graph->V; v++) {if (sptSet[v] == 0 && dist[v] <= min) {u = v;min = dist[v];}}sptSet[u] = 1;for (int v = 0; v < graph->V; v++) {if (sptSet[v] == 0 && graph->adjMatrix[u][v] && dist[u] != INT_MAX && dist[u] + graph->adjMatrix[u][v] < dist[v]) {dist[v] = dist[u] + graph->adjMatrix[u][v];}}}printf("Vertex\tDistance from Source\n");for (int i = 0; i < graph->V; i++) {printf("%d\t\t%d\n", i, dist[i]);}free(dist);free(sptSet);
}int main() {Graph* graph = createGraph(9);addEdge(graph, 0, 1, 4);addEdge(graph, 0, 7, 8);addEdge(graph, 1, 2, 8);addEdge(graph, 1, 7, 11);addEdge(graph, 2, 3, 7);addEdge(graph, 2, 8, 2);addEdge(graph, 2, 5, 4);addEdge(graph, 3, 4, 9);addEdge(graph, 3, 5, 14);addEdge(graph, 4, 5, 10);addEdge(graph, 5, 6, 2);addEdge(graph, 6, 8, 6);addEdge(graph, 6, 7, 1);addEdge(graph, 7, 8, 7);dijkstra(graph, 0);free(graph->adjMatrix[0]);free(graph->adjMatrix);free(graph);return 0;
}

例题分析：

1.创建图：createGraph函数创建一个图的结构体，包括顶点数量和邻接矩阵。

2.添加边：addEdge函数向图中添加边，并设置边的权重。

3.迪杰斯特拉算法：dijkstra函数实现迪杰斯特拉算法，计算从源点src到其他所有顶点的最短路径。函数使用一个数组dist来存储到每个顶点的最短路径权重，另一个数组sptSet来标记已经找到最短路径的顶点。

4.打印结果：函数最后打印出每个顶点到源点的最短路径权重。

5.主函数：在main函数中，创建了一个图，并添加了一些边。调用dijkstra函数计算从顶点0到其他所有顶点的最短路径，并打印结果。

这个例题展示了如何在C语言中使用迪杰斯特拉算法解决单源最短路问题。通过这个例子，可以更好地理解迪杰斯特拉算法在解决最短路问题中的应用，以及如何使用邻接矩阵来存储图的信息。迪杰斯特拉算法是一种贪心算法，它通过逐步选择最短的未处理路径来找到最短路径，适用于加权图中的单源最短路问题。

树的直径

树的直径（Diameter of a Tree）是指树中任意两点之间的最长路径的长度。在图论中，树是一种特殊的无向图，它没有环，并且任意两个顶点之间有且仅有一条路径。

特点：

1.最长路径：树的直径是树中任意两点之间的最长路径的长度。

2.无环：树是一种无环的图，这意味着树中不存在循环依赖。

3.唯一路径：在树中，任意两个顶点之间有且仅有一条路径。

4.连通性：树中的任意两个顶点都是连通的。

常见用法：

1.网络设计：在计算机网络中，树的直径可以用来衡量网络的效率，最长路径越短，网络的响应时间越短。

2.数据结构：在数据结构中，树的直径可以用来衡量树的深度，有助于优化树的存储和查询效率。

3.算法设计：在算法设计中，树的直径可以用来衡量算法的性能，最长路径越短，算法的效率越高。

经典C语言例题：

题目： 计算树的直径。

示例代码：

#include <stdio.h>
#include <limits.h>// 定义树的结构体
typedef struct Node {int vertex;struct Node* left;struct Node* right;
} Node;// 创建树的节点
Node* newNode(int v) {Node* node = (Node*)malloc(sizeof(Node));node->vertex = v;node->left = NULL;node->right = NULL;return node;
}// 计算树的直径
int treeDiameter(Node* root) {if (root == NULL) {return 0;}// 计算左右子树的高度int leftHeight = treeDiameter(root->left);int rightHeight = treeDiameter(root->right);// 更新直径int diameter = leftHeight + rightHeight;// 返回当前子树的高度return (leftHeight > rightHeight) ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}// 主函数
int main() {Node* root = newNode(1);root->left = newNode(2);root->right = newNode(3);root->left->left = newNode(4);root->left->right = newNode(5);root->right->left = newNode(6);root->right->right = newNode(7);printf("Diameter of the tree is: %d\n", treeDiameter(root));return 0;
}

例题分析：

1.创建树的节点：newNode函数创建树的节点，并初始化节点的值。

2.计算树的直径：treeDiameter函数递归地计算树的直径。函数首先计算左右子树的高度，然后更新直径，最后返回当前子树的高度。

3.主函数：在main函数中，创建了一个树的实例，并调用treeDiameter函数计算树的直径，最后打印结果。

这个例题展示了如何在C语言中使用递归方法来计算树的直径。通过这个例子，可以更好地理解树的直径在解决树形结构问题中的应用，以及如何使用递归技术来高效地解决问题。树的直径是树中任意两点之间的最长路径的长度，通过计算左右子树的高度并更新直径，可以得到整个树的直径。

拓扑排序

拓扑排序（Topological Sorting）是图论中的一种算法，用于对有向无环图（DAG）的顶点进行排序，使得对于图中的每一条有向边(u, v)，u在排序中都出现在v之前。拓扑排序通常用于解决依赖关系问题，如课程安排、任务调度等。

特点：

1.有向无环图：拓扑排序只适用于有向无环图，即图中不存在环。

2.排序结果：拓扑排序的结果可能不唯一，因为可能存在多个合法的排序。

3.依赖关系：拓扑排序反映了图中顶点之间的依赖关系，即如果存在一条路径从u到v，则u在排序中必须出现在v之前。

4.应用广泛：拓扑排序在编译器设计、软件工程、项目管理等领域都有广泛应用。

常见用法：

1.课程安排：在大学课程安排中，拓扑排序可以用来确定课程的先修关系。

2.任务调度：在项目管理中，拓扑排序可以用来确定任务的执行顺序。

3.依赖解析：在软件构建系统中，拓扑排序可以用来解析模块之间的依赖关系。

经典C语言例题：

题目： 使用拓扑排序解决课程安排问题。

示例代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>// 定义图的结构体
typedef struct Graph {int V; // 顶点数量int* adjMatrix; // 邻接矩阵
} Graph;// 创建图的函数
Graph* createGraph(int V) {Graph* graph = (Graph*)malloc(sizeof(Graph));graph->V = V;graph->adjMatrix = (int*)malloc(V * V * sizeof(int));return graph;
}// 添加边的函数
void addEdge(Graph* graph, int src, int dest) {graph->adjMatrix[src * graph->V + dest] = 1;
}// 拓扑排序函数
void topologicalSort(Graph* graph, int V, int* order) {int* indegree = (int*)calloc(V, sizeof(int));for (int i = 0; i < V; i++) {for (int j = 0; j < V; j++) {if (graph->adjMatrix[i * V + j] == 1) {indegree[j]++;}}}int queue[V];int front = 0, rear = -1;for (int i = 0; i < V; i++) {if (indegree[i] == 0) {queue[++rear] = i;}}int count = 0;while (front <= rear) {int v = queue[front++];order[count++] = v;for (int i = 0; i < V; i++) {if (graph->adjMatrix[v * V + i] == 1 && --indegree[i] == 0) {queue[++rear] = i;}}}if (count != V) {printf("Graph has a cycle\n");free(indegree);free(queue);return;}printf("Topological order: ");for (int i = 0; i < count; i++) {printf("%d ", order[i]);}printf("\n");free(indegree);free(queue);
}int main() {Graph* graph = createGraph(6);addEdge(graph, 5, 2);addEdge(graph, 5, 0);addEdge(graph, 4, 0);addEdge(graph, 4, 1);addEdge(graph, 2, 3);addEdge(graph, 3, 1);int order[6];topologicalSort(graph, 6, order);return 0;
}

例题分析：

1.创建图：createGraph函数创建一个图的结构体，包括顶点数量和邻接矩阵。

2.添加边：addEdge函数向图中添加边。

3.拓扑排序：topologicalSort函数实现拓扑排序算法。函数首先计算每个顶点的入度，然后将入度为0的顶点入队列。接着，从队列中取出顶点，将其加入排序结果，并将其所有出边对应的顶点的入度减1，如果入度变为0，则加入队列。最后，如果排序结果的顶点数量不等于图的顶点数量，则说明图中有环。

4.打印结果：函数最后打印出拓扑排序的结果。

5.主函数：在main函数中，创建了一个图，并添加了一些边。调用topologicalSort函数计算拓扑排序，并打印结果。

这个例题展示了如何在C语言中使用拓扑排序解决课程安排问题。通过这个例子，可以更好地理解拓扑排序在解决依赖关系问题中的应用，以及如何使用邻接矩阵来存储图的信息。拓扑排序是一种有效的算法，可以用来确定有向无环图中顶点的合法排序，从而解决依赖关系问题。

最小生成树

最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）是图论中的一个概念，它是指在一个加权连通图中，选取的边的权重之和最小，并且包括图中的所有顶点的生成树。最小生成树具有以下特点：

特点：

1.连通性：最小生成树包含图中的所有顶点。

2.无环：最小生成树是一棵树，因此它不包含任何环。

3.权重最小：最小生成树的边的权重之和是所有生成树中最小的。

4.唯一性：在权重不相等的图中，最小生成树是唯一的；如果图中存在权重相同的边，则可能存在多个最小生成树。

常见用法：

1.网络设计：在计算机网络中，最小生成树用于设计最经济的网络连接。

2.电路设计：在电路设计中，最小生成树用于寻找连接所有元件的最短路径。

3.城市规划：在城市规划中，最小生成树用于确定城市中各个区域的最短道路连接。

4.图像处理：在图像处理中，最小生成树用于图像分割和特征提取。

经典C语言例题：

题目： 使用普里姆算法（Prim's Algorithm）解决最小生成树问题。

示例代码：

#include <stdio.h>
#include <limits.h>// 定义图的结构体
typedef struct Graph {int V; // 顶点数量int** adjMatrix; // 邻接矩阵
} Graph;// 创建图的函数
Graph* createGraph(int V) {Graph* graph = (Graph*)malloc(sizeof(Graph));graph->V = V;graph->adjMatrix = (int**)malloc(V * sizeof(int*));for (int i = 0; i < V; i++) {graph->adjMatrix[i] = (int*)malloc(V * sizeof(int));memset(graph->adjMatrix[i], INT_MAX, V * sizeof(int));graph->adjMatrix[i][i] = 0;}return graph;
}// 添加边的函数
void addEdge(Graph* graph, int src, int dest, int weight) {graph->adjMatrix[src][dest] = weight;graph->adjMatrix[dest][src] = weight; // 无向图
}// 普里姆算法函数
void primMST(Graph* graph, int start) {int* key = (int*)malloc(graph->V * sizeof(int));int* parent = (int*)malloc(graph->V * sizeof(int));int* inMST = (int*)calloc(graph->V, sizeof(int));for (int i = 0; i < graph->V; i++) {key[i] = INT_MAX;parent[i] = -1;}key[start] = 0;parent[start] = -1;for (int count = 0; count < graph->V - 1; count++) {int u = -1, min = INT_MAX;for (int v = 0; v < graph->V; v++) {if (inMST[v] == 0 && key[v] <= min) {u = v;min = key[v];}}inMST[u] = 1;for (int v = 0; v < graph->V; v++) {if (graph->adjMatrix[u][v] && inMST[v] == 0 && graph->adjMatrix[u][v] < key[v]) {parent[v] = u;key[v] = graph->adjMatrix[u][v];}}}printf("Edge \tWeight\n");for (int i = 1; i < graph->V; i++) {printf("%d - %d \t%d\n", parent[i], i, graph->adjMatrix[i][parent[i]]);}free(key);free(parent);free(inMST);
}int main() {Graph* graph = createGraph(9);addEdge(graph, 0, 1, 4);addEdge(graph, 0, 7, 8);addEdge(graph, 1, 2, 8);addEdge(graph, 1, 7, 11);addEdge(graph, 2, 3, 7);addEdge(graph, 2, 8, 2);addEdge(graph, 2, 5, 4);addEdge(graph, 3, 4, 9);addEdge(graph, 3, 5, 14);addEdge(graph, 4, 5, 10);addEdge(graph, 5, 6, 2);addEdge(graph, 6, 8, 6);addEdge(graph, 6, 7, 1);addEdge(graph, 7, 8, 7);primMST(graph, 0);free(graph->adjMatrix[0]);free(graph->adjMatrix);free(graph);return 0;
}

例题分析：

1.创建图：createGraph函数创建一个图的结构体，包括顶点数量和邻接矩阵。

2.添加边：addEdge函数向图中添加边，并设置边的权重。

3.普里姆算法：primMST函数实现普里姆算法，计算从源点start到其他所有顶点的最小生成树。函数使用三个数组key、parent和inMST来存储每个顶点的最小权重、前驱顶点和是否在最小生成树中。

4.打印结果：函数最后打印出最小生成树的边和权重。

5.主函数：在main函数中，创建了一个图，并添加了一些边。调用primMST函数计算从顶点0到其他所有顶点的最小生成树，并打印结果。

这个例题展示了如何在C语言中使用普里姆算法解决最小生成树问题。通过这个例子，可以更好地理解普里姆算法在解决最小生成树问题中的应用，以及如何使用邻接矩阵来存储图的信息。普里姆算法是一种贪心算法，它通过逐步选择最小权重的边来构建最小生成树，适用于加权图中的最小生成树问题。