备战蓝桥杯---数论相关问题

目录

一、最大公约数和最小公倍数

二、素数判断

三、同余

四、唯一分解定理

五、约数个数定理

六、约数和定理

五、快速幂

六、费马小定理

七、逆元

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一、最大公约数和最小公倍数

文章链接：最大公约数和最小公倍数

二、素数判断

文章链接：在Java中判断素数

三、同余

同余是一个数学概念，它描述了两个数在某个特定的模下具有相同的余数。在数学中，我们使用符号"≡"来表示同余关系。具体来说，对于给定的整数a、b和正整数m，如果a与b除以m得到的余数相等，即(a mod m) = (b mod m)，我们就说a与b在模m下是同余的。

四、唯一分解定理

该定理表明，每个大于1的自然数都可以被唯一地表示为质数的乘积。

具体来说，唯一分解定理可以表述为：任何一个大于1的自然数n，都可以写成质数的乘积形式，即n = p1^a1 * p2^a2 * … * pk^ak，其中p1, p2, …, pk为质数，a1, a2, …, ak为正整数，并且这种表示方式是唯一的，即如果将n分解成不同的质数乘积形式，那么这些质数和指数也是唯一确定的。

例如，对于自然数12，它可以被分解为2^2 * 3^1，其中2和3都是质数，指数分别为2和1。而这种分解方式是唯一的，即12不能被表示为其他质数乘积的形式。

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;
import java.util.Scanner;public class Main {static class node{int a,b;//a的b次方node(int a,int b){this.a=a;this.b=b;}}public static void main(String[] args){Scanner scanner=new Scanner(System.in);int n=scanner.nextInt();//输入的数，输出是由多个质数的次方的乘积int t=n;ArrayList<node> e=new ArrayList<>();for(int i=2;i<=n/i;i++){if(n%i==0){int ans=0;while(n%i==0){ans++;n/=i;}e.add(new node(i,ans));}}if(n>1){e.add(new node(n,1));}System.out.print(t+"=");for(int i=0;i<e.size();i++){if(i==e.size()-1){System.out.print(e.get(i).a+"^"+e.get(i).b);break;}System.out.print(e.get(i).a+"^"+e.get(i).b+"+");}}
}

五、约数个数定理

约数个数定理是数论中的一个重要定理，它给出了一个正整数的约数个数与其质因数分解有关的关系。具体来说，如果一个正整数n可以分解为质数的乘积，即n = p1^a1 * p2^a2 * … * pk^ak，其中p1、p2、…、pk为不同的质数，a1、a2、…、ak为正整数，则n的约数个数可以通过以下公式计算：

约数个数 = (a1 + 1) * (a2 + 1) * … * (ak + 1)

其中，(a1 + 1)、(a2 + 1)、…、(ak + 1)分别表示每个质因数的指数加1后的值。

例如，对于正整数12，它可以分解为2^2 * 3^1，因此它的约数个数为(2+1) * (1+1) = 6。它的约数包括1、2、3、4、6和12。

六、约数和定理

通过某一个数字的唯一分解定理，可以推出约数和定理。约数和定理是指对于任意一个正整数n，它的所有约数的个数可以通过对n进行唯一分解后的指数加1的乘积来计算。

具体来说，如果将正整数n进行唯一分解，得到其质因数分解式为： n = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * … * pk^ak 其中，p1, p2, p3, …, pk为不同的质数，a1, a2, a3, …, ak为对应的指数。

根据唯一分解定理，n的所有约数可以通过对指数进行组合得到。对于每个质因数pi，它的指数ai可以取0到ai之间的任意整数，这样就可以得到ai+1个选择。因此，n的所有约数的个数为(a1+1) * (a2+1) * (a3+1) * … * (ak+1)。

以20为例，将20进行唯一分解得到其质因数分解式为： 20 = 2^2 * 5^1 其中，2和5为不同的质数，指数分别为2和1。

根据约数和定理，20的所有约数的个数为(2+1) * (1+1) = 6。即20的约数有6个，分别为1、2、4、5、10和20。

也就是：

（1）2^0*5^0=1

（2）2^0*5^1=5

（3）2^1*5^0=2

（4）2^1*5^1=10

（5）2^2*5^0=4

（6）2^2*5^1=20

五、快速幂

文章链接：快速幂（Java实现）

六、费马小定理

费马小定理是数论中的一个重要定理，它描述了在模运算下的一种特殊性质。具体来说，费马小定理表明，如果p是一个质数，a是任意整数且不是p的倍数，那么a的p-1次方除以p的余数等于1。

数学表达式为：a^(p-1) ≡ 1 (mod p)------>（a^(p-1)）%p=1（简单来说）

这里的“≡”表示模运算下的等价关系，即两个数除以p的余数相等。

举个例子来说明，假设p=7，a=3，根据费马小定理，我们可以计算3^6除以7的余数。计算过程如下：

3^6 = 729 729 ÷ 7 = 104 余 1

因此，根据费马小定理，3^6除以7的余数等于1。

七、逆元

逆元是数论中的一个重要概念，它指的是在模运算下，对于给定的整数a和模数m，存在一个整数b，使得(a * b) % m = 1。其中，a称为原元，b称为a的逆元。

举个例子来说明逆元的概念。假设我们要求解在模7下的逆元，即找到一个整数b，使得(a * b) % 7 = 1。如果我们取a = 3，那么可以发现3 * 5 = 15，15除以7的余数为1，所以5就是3在模7下的逆元。因此，5是3的逆元。