【算法优选】 动态规划之简单多状态dp问题——贰

🎋前言

动态规划相关题目都可以参考以下五个步骤进行解答：

1. 状态表示

2. 状态转移⽅程

3. 初始化

4. 填表顺序

5. 返回值

后面题的解答思路也将按照这五个步骤进行讲解。

🌴买卖股票的最佳时机含冷冻期

🚩题目描述

给定一个整数数组prices，其中第 prices[i] 表示第 i 天的股票价格

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

• 示例 1:
  输入: prices = [1,2,3,0,2]
  输出: 3
  解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]
• 示例 2:
  输入: prices = [1]
  输出: 0

class Solution {public int maxProfit(int[] prices) {}
}

🚩算法思路：

🎈状态表示：

对于线性dp ，我们可以⽤「经验+题⽬要求」来定义状态表示：

• 以某个位置为结尾…；
• 以某个位置为起点…。

这里我们选择比较常⽤的⽅式，以某个位置为结尾，结合题目要求，定义⼀个状态表⽰：

由于有「买⼊」「可交易」「冷冻期」三个状态，因此我们可以选择⽤三个数组，其中：

• dp[i][0] 表⽰：第 i 天结束后，处于「买⼊」状态，此时的最⼤利润；
• dp[i][1]表⽰：第 i 天结束后，处于「可交易」状态，此时的最⼤利润；
• dp[i][2] 表⽰：第 i 天结束后，处于「冷冻期」状态，此时的最⼤利润。

🎈状态转移方程：

我们要谨记规则：

1. 处于「买⼊」状态的时候，我们现在有股票，此时不能买股票，只能继续持有股票，或者卖出股票；
2. 处于「卖出」状态的时候：
   • 如果「在冷冻期」，不能买⼊；
   • 如果「不在冷冻期」，才能买⼊。

对于 dp[i][0] ，我们有「两种情况」能到达这个状态：

1. 在 i - 1 天持有股票，此时最⼤收益应该和 i - 1 天的保持⼀致： dp[i - 1][0] ；
2. 在 i 天买⼊股票，那我们应该选择 i - 1 天不在冷冻期的时候买⼊，由于买⼊需要花钱，所以此时最⼤收益为： dp[i - 1][1] - prices[i]

两种情况应取最⼤值，因此： dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]) 。

对于 dp[i][1] ，我们有「两种情况」能到达这个状态：

1. 在 i - 1 天的时候，已经处于冷冻期，然后啥也不⼲到第 i 天，此时对应的状态为：dp[i - 1][2] ；
2. 在 i - 1 天的时候，⼿上没有股票，也不在冷冻期，但是依旧啥也不干到第 i 天，此时对应的状态为 dp[i - 1][1] ；

两种情况应取最⼤值，因此： dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]) 。

对于 dp[1][i] ，我们只有「⼀种情况」能到达这个状态：

1. 在 i - 1 天的时候，卖出股票。
2. 因此对应的状态转移为： dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i]

🎈初始化：

三种状态都会用到前⼀个位置的值，因此需要初始化每⼀行的第⼀个位置：

• dp[0][0] ：此时要想处于「买⼊」状态，必须把第⼀天的股票买了，因此 dp[0][0] = -prices[0] ；
• dp[0][1] ：啥也不用干即可，因此 dp[0][1] = 0 ；
• dp[0][2] ：⼿上没有股票，买⼀下卖⼀下就处于冷冻期，此时收益为 0 ，因此 dp[0][2]= 0 。

🎈填表顺序：

根据「状态表示」，我们要三个表⼀起填，每⼀个表「从左往右」。

🎈返回值：

应该返回「卖出状态」下的最⼤值，因此应该返回 max(dp[n - 1][1], dp[n - 1][2])

🚩代码实现

class Solution {public int maxProfit(int[] prices) {int n = prices.length;int[][] dp = new int[n][3];dp[0][0] = - prices[0];for(int i = 1; i < n; i++) {dp[i][0] =  Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]);dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];}return Math.max(dp[n - 1][1], dp[n - 1][2]);}
}

🍃买卖股票的最佳时期含手续费（medium）

🚩题目描述

给定一个整数数组 prices，其中 prices[i]表示第 i 天的股票价格 ；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

• 示例 1：
  输入：prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
  输出：8
  解释：能够达到的最大利润:
  在此处买入 prices[0] = 1
  在此处卖出 prices[3] = 8
  在此处买入 prices[4] = 4
  在此处卖出 prices[5] = 9
  总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8
• 示例 2：
  输入：prices = [1,3,7,5,10,3], fee = 3
  输出：6

class Solution {public int maxProfit(int[] prices, int fee) {}
}

🚩算法思路

🎈状态表示：

对于线性 dp ，我们可以⽤「经验 + 题⽬要求」来定义状态表⽰：

1. 以某个位置为结尾，进行操作；
2. 以某个位置为起点，进行操作。

这里我们选择比较常用的方式，以某个位置为结尾，结合题目要求，定义⼀个状态表示：

由于有「买⼊」「可交易」两个状态，因此我们可以选择用两个数组，其中：

• f[i] 表示：第 i 天结束后，处于「买⼊」状态，此时的最大利润；
• g[i] 表示：第 i 天结束后，处于「卖出」状态，此时的最大利润。

🎈状态转移方程：

我们选择在「卖出」的时候，支付这个手续费，那么在「买入」的时候，就不⽤再考虑⼿续费的问题。

对于 f[i] ，我们有两种情况能到达这个状态：

1. 在 i - 1 天「持有」股票，第 i 天啥也不干。此时最⼤收益为 f[i - 1] ；
2. 在 i - 1 天的时候「没有」股票，在第 i 天买⼊股票。此时最⼤收益为 g[i - 1] - prices[i])

两种情况下应该取最大值，因此 f[i] = max(f[i - 1], g[i - 1] -prices[i]) 。

对于 g[i] ，我们也有两种情况能够到达这个状态：

1. 在 i - 1 天「持有」股票，但是在第 i 天将股票卖出。此时最大收益为： f[i - 1]+ prices[i] - fee) ，记得手续费；
2. 在 i - 1 天「没有」股票，然后第 i 天啥也不干。此时最大收益为： g[i - 1] ；

两种情况下应该取最大值，因此 g[i] = max(g[i - 1], f[i - 1] + prices[i] - free) 。

class Solution {public int maxProfit(int[] prices, int fee) {int[] f = new int[prices.length];int[] g = new int[prices.length];f[0] = -prices[0];for (int i = 1; i < prices.length; i++) {f[i] = Math.max(f[i - 1],g[i - 1] - prices[i]);g[i] = Math.max(g[i - 1], f[i - 1] + prices[i] - fee); }return g[prices.length - 1];}
}

🎈初始化：

由于需要用到前面的状态，因此需要初始化第⼀个位置。

• 对于 f[0] ，此时处于「买入」状态，因此 f[0] = -prices[0] ；
• 对于 g[0] ，此时处于「没有股票」状态，啥也不干即可获得最大收益，因此 g[0] = 0

🎈填表顺序：

毫⽆疑问是「从左往右」，但是两个表需要⼀起填。

🎈返回值：

应该返回「卖出」状态下，最后⼀天的最大值收益： g[n - 1]

🚩代码实现

class Solution {public int maxProfit(int[] prices, int fee) {int[] f = new int[prices.length];int[] g = new int[prices.length];f[0] = -prices[0];for (int i = 1; i < prices.length; i++) {f[i] = Math.max(f[i - 1],g[i - 1] - prices[i]);g[i] = Math.max(g[i - 1], f[i - 1] + prices[i] - fee); }return g[prices.length - 1];}
}

🌳买卖股票的最佳时机 III

🚩题目描述

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

• 示例 1:
  输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
  输出：6
  解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
  随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
  -示例 2：
  输入：prices = [1,2,3,4,5]
  输出：4
  解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
  注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
  因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
• 示例 3：
  输入：prices = [7,6,4,3,1]
  输出：0
  解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
• 示例 4：
  输入：prices = [1]
  输出：0

class Solution {public int maxProfit(int[] prices) {}
}

🚩算法思路

🎈状态表示：

对于线性 dp ，我们可以⽤「经验 + 题目要求」来定义状态表示：

1. 以某个位置为结尾，进行一系列操作；
2. 以某个位置为起点，进行一系列操作。

这里我们选择比较常⽤的⽅式，以某个位置为结尾，结合题目要求，定义⼀个状态表⽰：

由于有「买⼊」「可交易」两个状态，因此我们可以选择用两个数组。但是这道题⾥⾯还有交易次数的限制，因此我们还需要再加上⼀维，用来表示交易次数。其中：

• f[i][j] 表⽰：第 i 天结束后，完成了 j 次交易，处于「买⼊」状态，此时的最⼤利润；

• g[i][j] 表⽰：第 i 天结束后，完成了 j 次交易，处于「卖出」状态，此时的最⼤利润。

🎈状态转移方程：

对于 f[i][j] ，我们有两种情况到这个状态：

1. 在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于「买⼊」状态，第 i 天啥也不干即可。此时最大利润为： f[i - 1][j] ；
2. 在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于「卖出」状态，第 i 天的时候把股票买了。此时的最⼤利润为： g[i - 1][j] - prices[i] 。

综上，我们要的是「最⼤利润」，因此是两者的最⼤值： f[i][j] = max(f[i - 1][j],g[i - 1][j] - prices[i]) 。

对于 g[i][j] ，我们也有两种情况可以到达这个状态：

1. 在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于「卖出」状态，第 i 天啥也不⼲即可。此时的最大利润为： g[i - 1][j] ；
2. 在 i - 1 天的时候，交易了 j - 1 次，处于「买⼊」状态，第 i 天把股票卖了，然后就完成了 j ⽐交易。此时的最⼤利润为： f[i - 1][j - 1] + prices[i] 。但是这个状态不⼀定存在，要先判断⼀下。

综上，我们要的是最⼤利润，因此状态转移方程为：

g[i][j] = g[i - 1][j];
if(j >= 1) {g[i][j] = max(g[i][j], f[i - 1][j - 1] + prices[i]);
}

🎈初始化：

由于需要用到 i = 0 时的状态，因此我们初始化第⼀行即可。

• 当处于第 0 天的时候，只能处于「买⼊过⼀次」的状态，此时的收益为 -prices[0] ，因此 f[0][0] = - prices[0] 。
• 为了取 max 的时候，⼀些不存在的状态「起不到干扰」的作用，我们统统将它们初始化为 - INF （用 INT_MIN 在计算过程中会有「溢出」的风险，这⾥ INF 折半取0x3f3f3f3f ，足够小即可）

🎈填表顺序：

从「上往下填」每⼀行，每⼀行「从左往右」，两个表「⼀起填」。

🎈返回值：

返回处于「卖出状态」的最⼤值，但是我们也「不知道是交易了⼏次」，因此返回 g 表最后⼀行的最大值。

🚩代码实现

class Solution {public int maxProfit(int[] prices) {// 1. 创建 dp 表// 2. 初始化// 3. 填表// 4. 返回值int INF = 0x3f3f3f3f;int n = prices.length;int[][] f = new int[n][3];int[][] g = new int[n][3];for(int j = 0; j < 3; j++) {f[0][j] = g[0][j] = -INF;}f[0][0] = -prices[0];g[0][0] = 0;for(int i = 1; i < n; i++) {for (int j = 0; j < 3; j++) {f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], g[i - 1][j] - prices[i]);g[i][j] = g[i - 1][j];// 判断状态是否存在if (j - 1 >= 0) {g[i][j] = Math.max(g[i][j], f[i - 1][j - 1] + prices[i]);}}}//找出最后一行的最大值int ret = 0; for(int j = 0; j < 3; j++) {ret = Math.max(ret, g[n - 1][j]);}return ret;}
}

⭕总结

关于《【算法优选】 动态规划之简单多状态dp问题——贰》就讲解到这儿，感谢大家的支持，欢迎各位留言交流以及批评指正，如果文章对您有帮助或者觉得作者写的还不错可以点一下关注，点赞，收藏支持一下！