统计信号处理基础 习题解答10-10
题目
在本题中,我们讨论再生PDF。回顾前面

其中分母与
无关。如果选择一个
,使得它与
相乘时,我们得到与
相同形式的PDF,那么后验PDF
将有和
相同的形式。例10.1的高斯PDF正是这样的一种情况。现在假设在
条件下的
的PDF是指数形式:

其中
是条件独立的(参见习题10.2)。接着,假设伽马先验PDF

其中
,
,求后验PDF。把它与先验PDF相比较。这种PDF在该形势下是伽马的,称为共轭先验PDF。
解答
根据
是条件独立的,因此:

如果记:

那么:
![]()
因此:


带入后得到:


接下来,关键是求分母的积分,我们通过已知:

因此:

因此:

此时,如果令:
![]()
![]()
那么上式变换为:

也就是:

把上述积分代入
得到:


最终得到:

也就是:

与
对比后可以发现
也是伽马分布,其中仅仅是参数发生了变化。
在这种情况下,我们可以称先验
和后验
为共轭分布,而此时先验
称为共轭先验。
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