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统计信号处理基础 习题解答10-10

题目

在本题中,我们讨论再生PDF。回顾前面

其中分母与无关。如果选择一个,使得它与相乘时,我们得到与相同形式的PDF,那么后验PDF 将有和相同的形式。例10.1的高斯PDF正是这样的一种情况。现在假设在条件下的的PDF是指数形式:

其中是条件独立的(参见习题10.2)。接着,假设伽马先验PDF

其中, ,求后验PDF。把它与先验PDF相比较。这种PDF在该形势下是伽马的,称为共轭先验PDF。


解答

根据是条件独立的,因此:

如果记:

那么:

因此:

带入后得到:

 

接下来,关键是求分母的积分,我们通过已知:

因此:

因此:

此时,如果令:

那么上式变换为:

也就是:

把上述积分代入得到:

最终得到:

也就是:

对比后可以发现也是伽马分布,其中仅仅是参数发生了变化。

在这种情况下,我们可以称先验和后验为共轭分布,而此时先验称为共轭先验。

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