PyTorch nn.CrossEntropyLoss() 交叉熵损失函数详解和要点提醒

前置知识

深度学习：关于损失函数的一些前置知识（PyTorch Loss）

nn.CrossEntropyLoss() 交叉熵损失

torch.nn.CrossEntropyLoss(weight=None, size_average=None, ignore_index=-100, reduce=None, reduction='mean', label_smoothing=0.0)

This criterion computes the cross entropy loss between input logits and target.

该函数计算输入 logits 和目标之间的交叉熵损失。

参数

• weight (Tensor, 可选): 一个形状为 $(C)$ 的张量，表示每个类别的权重。如果提供了这个参数，损失函数会根据类别的权重来调整各类别的损失，适用于类别不平衡的问题。默认值是 None。
• size_average (bool, 可选): 已弃用。如果 reduction 不是 'none'，则默认情况下损失是取平均（True）；否则，是求和（False）。默认值是 None。
• ignore_index (int, 可选): 如果指定了这个参数，则该类别的索引会被忽略，不会对损失和梯度产生影响。默认值是 -100。
• reduce (bool, 可选): 已弃用。请使用 reduction 参数。默认值是 None。
• reduction (str, 可选): 指定应用于输出的归约方式。可选值为 'none'、'mean'、'sum'。'none' 表示不进行归约，'mean' 表示对所有样本的损失求平均，'sum' 表示对所有样本的损失求和。默认值是 'mean'。
• label_smoothing (float, 可选): 标签平滑值，范围在 [0.0, 1.0] 之间。默认值是 0.0。标签平滑是一种正则化技术，通过在真实标签上添加一定程度的平滑来避免过拟合。

数学公式

附录部分会验证下述公式和代码的一致性。

假设有 $N$ 个样本，每个样本属于 $C$ 个类别之一。对于第 $i$ 个样本，它的真实类别标签为 $y_i$，模型的输出 logits 为 ${\mathbf{x}}_i=(x_{i1},x_{i2},\dots ,x_{iC})$，其中 $x_{ic}$ 表示第 $i$ 个样本在第 $c$ 类别上的原始输出分数（logits）。

交叉熵损失的计算步骤如下：

1. Softmax 函数：
   对 logits 进行 softmax 操作，将其转换为概率分布：
   $$p_{ic}=\frac{\exp (x_{ic})}{{\sum }_{j=1}^C\exp (x_{ij})}$$
   其中 $ p_{ic} $ 表示第 $ i $ 个样本属于第 $ c $ 类别的预测概率。
2. 负对数似然（Negative Log-Likelihood）：
   计算负对数似然：
   $${\ell }_i=-\log (p_{i{y}_i})$$
   其中 ${\ell }_i$ 是第 $i$ 个样本的损失，$p_{i{y}_i}$ 表示第 $i$ 个样本在真实类别 $y_i$ 上的预测概率。
3. 总损失：
   计算所有样本的平均损失（ reduction 参数默认为 'mean'）：
   $$\mathcal{L}=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{\ell }_i=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N-\log (p_{i{y}_i})$$
   如果 reduction 参数为 'sum'，总损失为所有样本损失的和：
   $$\mathcal{L}=\sum _{i=1}^N{\ell }_i=\sum _{i=1}^N-\log (p_{i{y}_i})$$
   如果 reduction 参数为 'none'，则返回每个样本的损失 ${\ell }_i$​ 组成的张量。
   $$\mathcal{L}=[{\ell }_1,{\ell }_2,\dots ,{\ell }_N]=[-\log (p_{i{y}_1}),-\log (p_{i{y}_2}),\dots ,-\log (p_{i{y}_N})]$$

带权重的公式（weight）

如果指定了类别权重 $\mathbf{w}=(w_1,w_2,\dots ,w_C)$，则总损失公式为：

$$\mathcal{L}=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{w}_{y_i}\cdot {\ell }_i=\frac{{\sum }_{i=1}^N{w}_{y_i}\cdot (-\log (p_{i{y}_i}))}{{\sum }_{i=1}^N{w}_{y_i}}$$

其中 $w_{y_i}$ 是第 $i$ 个样本真实类别的权重。

标签平滑（label_smoothing）

如果标签平滑（label smoothing）参数 $\alpha$ 被启用，目标标签 ${\mathbf{y}}_i$ 会被平滑处理：

$${\mathbf{y}}_i^{\prime }=(1-\alpha )\cdot {\mathbf{y}}_i+\frac{\alpha }{C}$$

其中， ${\mathbf{y}}_i$ 是原始的 one-hot 编码目标标签，${\mathbf{y}}_i^{\prime }$ 是平滑后的标签。

总的损失公式会相应调整：

$${\ell }_i=-\sum _{c=1}^C{y}_{ic}^{\prime }\cdot \log (p_{ic})$$

其中， $y_{ic}$ 是第 $i$ 个样本在第 $c$ 类别上的标签，为原标签 $y_i$ 经过 one-hot 编码后 ${\mathbf{y}}_i$ 中的值。对于一个 one-hot 编码标签向量，$y_{ic}$ 在样本属于类别 $c$ 时为 1，否则为 0。

要点

1. nn.CrossEntropyLoss() 接受的输入是 logits，这说明分类的输出不需要提前经过 softmax。如果提前经过 softmax，则需要使用 nn.NLLLoss()（负对数似然损失）。

   import torch
   import torch.nn as nn
   import torch.nn.functional as F# 定义输入和目标标签
   logits = torch.tensor([[2.0, 0.5], [0.5, 2.0]])  # 未经过 softmax 的 logits
   target = torch.tensor([0, 1])  # 目标标签# 使用 nn.CrossEntropyLoss 计算损失（接受 logits）
   criterion_ce = nn.CrossEntropyLoss()
   loss_ce = criterion_ce(logits, target)# 使用 softmax 后再使用 nn.NLLLoss 计算损失
   log_probs = F.log_softmax(logits, dim=1)
   criterion_nll = nn.NLLLoss()
   loss_nll = criterion_nll(log_probs, target)print(f"Loss using nn.CrossEntropyLoss: {loss_ce.item()}")
   print(f"Loss using softmax + nn.NLLLoss: {loss_nll.item()}")# 验证两者是否相等
   assert torch.allclose(loss_ce, loss_nll), "The losses are not equal, which indicates a mistake in the assumption."
   print("The losses are equal, indicating that nn.CrossEntropyLoss internally applies softmax.")
   

   >>> Loss using nn.CrossEntropyLoss: 0.2014133334159851
   >>> Loss using softmax + nn.NLLLoss: 0.2014133334159851
   >>> The losses are equal, indicating that nn.CrossEntropyLoss internally applies softmax.
   

   拓展： F.log_softmax()
   F.log_softmax 等价于先应用 softmax 激活函数，然后对结果取对数 log()。它是将 softmax 和 log 这两个操作结合在一起，以提高数值稳定性和计算效率。具体的数学定义如下：
   $$\text{log\_softmax}(x_i)=\log \left(\text{softmax}(x_i)\right)=\log \left(\frac{\exp (x_i)}{{\sum }_j\exp (x_j)}\right)=x_i-\log \left(\sum _j\exp (x_j)\right)$$
   在代码中，F.log_softmax 的等价操作可以用以下步骤实现：
   1. 计算 softmax。
   2. 计算 softmax 的结果的对数。

   import torch
   import torch.nn.functional as F# 定义输入 logits
   logits = torch.tensor([[2.0, 1.0, 0.1], [1.0, 3.0, 0.2]])# 计算 log_softmax
   log_softmax_result = F.log_softmax(logits, dim=1)# 分开计算 softmax 和 log
   softmax_result = F.softmax(logits, dim=1)
   log_result = torch.log(softmax_result)print("Logits:")
   print(logits)print("\nLog softmax (using F.log_softmax):")
   print(log_softmax_result)print("\nSoftmax result:")
   print(softmax_result)print("\nLog of softmax result:")
   print(log_result)# 验证两者是否相等
   assert torch.allclose(log_softmax_result, log_result), "The results are not equal."
   print("\nThe results are equal, indicating that F.log_softmax is equivalent to softmax followed by log.")
   

   >>> Logits:
   >>> tensor([[2.0000, 1.0000, 0.1000],
   >>>         [1.0000, 3.0000, 0.2000]])>>> Log softmax (using F.log_softmax):
   >>> tensor([[-0.4170, -1.4170, -2.3170],
   >>>         [-2.1791, -0.1791, -2.9791]])>>> Softmax result:
   >>> tensor([[0.6590, 0.2424, 0.0986],
   >>>         [0.1131, 0.8360, 0.0508]])>>> Log of softmax result:
   >>> tensor([[-0.4170, -1.4170, -2.3170],
   >>>         [-2.1791, -0.1791, -2.9791]])>>> The results are equal, indicating that F.log_softmax is equivalent to softmax followed by log.
   

   从结果中可以看到 F.log_softmax 的结果等价于先计算 softmax 再取对数。
2. nn.CrossEntropyLoss() 实际上默认（reduction=‘mean’）计算的是每个样本的平均损失，已经做了归一化处理，所以不需要对得到的结果进一步除以 batch_size 或其他某个数，除非是用作 loss_weight。下面是一个简单的例子：

   import torch
   import torch.nn as nn# 定义损失函数
   criterion = nn.CrossEntropyLoss()# 定义输入和目标标签
   input1 = torch.tensor([[2.0, 0.5], [0.5, 2.0]], requires_grad=True)  # 批量大小为 2
   target1 = torch.tensor([0, 1])  # 对应的目标标签input2 = torch.tensor([[2.0, 0.5], [0.5, 2.0], [2.0, 0.5], [0.5, 2.0]], requires_grad=True)  # 批量大小为 4
   target2 = torch.tensor([0, 1, 0, 1])  # 对应的目标标签# 计算损失
   loss1 = criterion(input1, target1)
   loss2 = criterion(input2, target2)print(f"Loss with batch size 2: {loss1.item()}")
   print(f"Loss with batch size 4: {loss2.item()}")
   

   >>> Loss with batch size 2: 0.2014133334159851
   >>> Loss with batch size 4: 0.2014133334159851
   

   可以看到这里的 input2 实际上等价于 torch.cat([input1, input1], dim=0)，target2 等价于 torch.cat([target1, target1], dim=0)，简单拓展了 batch_size 大小但最终的 Loss 没变，这也就验证了之前的说法。
3. 目标标签 target 期望两种格式：

   • 类别索引: 类别的整数索引，而不是 one-hot 编码。范围在 $[0,C)$ 之间，其中 $C$​ 是类别数。如果指定了 ignore_index，则该类别索引也会被接受（即便可能不在类别范围内）
     使用示例：

     # Example of target with class indices
     import torch
     import torch.nn as nnloss = nn.CrossEntropyLoss()
     input = torch.randn(3, 5, requires_grad=True)
     target = torch.empty(3, dtype=torch.long).random_(5)
     output = loss(input, target)
     output.backward()
     

   • 类别概率: 类别的概率分布，适用于需要每个批次项有多个类别标签的情况，如标签平滑等。
     使用示例：

     # Example of target with class probabilities
     import torch
     import torch.nn as nnloss = nn.CrossEntropyLoss()
     input = torch.randn(3, 5, requires_grad=True)
     target = torch.randn(3, 5).softmax(dim=1)
     output = loss(input, target)
     output.backward()
     

     The performance of this criterion is generally better when target contains class indices, as this allows for optimized computation. Consider providing target as class probabilities only when a single class label per minibatch item is too restrictive.

     通常情况下，当目标为类别索引时，该函数的性能更好，因为这样可以进行优化计算。只有在每个批次项的单一类别标签过于限制时，才考虑使用类别概率。

附录

用于验证数学公式和函数实际运行的一致性

import torch
import torch.nn.functional as F# 假设有两个样本，每个样本有三个类别
logits = torch.tensor([[1.5, 2.0, 0.5], [1.0, 0.5, 2.5]], requires_grad=True)
targets = torch.tensor([1, 2])# 根据公式实现 softmax
def softmax(x):return torch.exp(x) / torch.exp(x).sum(dim=1, keepdim=True)# 根据公式实现 log-softmax
def log_softmax(x):return x - torch.log(torch.exp(x).sum(dim=1, keepdim=True))# 根据公式实现负对数似然损失（NLLLoss）
def nll_loss(log_probs, targets):N = log_probs.size(0)return -log_probs[range(N), targets].mean()# 根据公式实现交叉熵损失
def custom_cross_entropy(logits, targets):log_probs = log_softmax(logits)return nll_loss(log_probs, targets)# 使用 PyTorch 计算交叉熵损失
criterion = torch.nn.CrossEntropyLoss(reduction='mean')
loss_torch = criterion(logits, targets)# 使用根据公式实现的交叉熵损失
loss_custom = custom_cross_entropy(logits, targets)# 打印结果
print("PyTorch 计算的交叉熵损失:", loss_torch.item())
print("根据公式实现的交叉熵损失:", loss_custom.item())# 验证结果是否相等
assert torch.isclose(loss_torch, loss_custom), "数学公式验证失败"# 带权重的交叉熵损失
weights = torch.tensor([0.7, 0.2, 0.1])
criterion_weighted = torch.nn.CrossEntropyLoss(weight=weights, reduction='mean')
loss_weighted_torch = criterion_weighted(logits, targets)# 根据公式实现带权重的交叉熵损失
def custom_weighted_cross_entropy(logits, targets, weights):log_probs = log_softmax(logits)N = logits.size(0)weighted_loss = -log_probs[range(N), targets] * weights[targets]return weighted_loss.sum() / weights[targets].sum()loss_weighted_custom = custom_weighted_cross_entropy(logits, targets, weights)# 打印结果
print("PyTorch 计算的带权重的交叉熵损失:", loss_weighted_torch.item())
print("根据公式实现的带权重的交叉熵损失:", loss_weighted_custom.item())# 验证结果是否相等
assert torch.isclose(loss_weighted_torch, loss_weighted_custom, atol=1e-6), "带权重的数学公式验证失败"# 标签平滑的交叉熵损失
alpha = 0.1
criterion_label_smoothing = torch.nn.CrossEntropyLoss(label_smoothing=alpha, reduction='mean')
loss_label_smoothing_torch = criterion_label_smoothing(logits, targets)# 根据公式实现标签平滑的交叉熵损失
def custom_label_smoothing_cross_entropy(logits, targets, alpha):N, C = logits.size()log_probs = log_softmax(logits)one_hot = torch.zeros_like(log_probs).scatter(1, targets.view(-1, 1), 1)smooth_targets = (1 - alpha) * one_hot + alpha / Closs = - (smooth_targets * log_probs).sum(dim=1).mean()return lossloss_label_smoothing_custom = custom_label_smoothing_cross_entropy(logits, targets, alpha)# 打印结果
print("PyTorch 计算的标签平滑的交叉熵损失:", loss_label_smoothing_torch.item())
print("根据公式实现的标签平滑的交叉熵损失:", loss_label_smoothing_custom.item())# 验证结果是否相等
assert torch.isclose(loss_label_smoothing_torch, loss_label_smoothing_custom, atol=1e-6), "标签平滑的数学公式验证失败"

>>> PyTorch 计算的交叉熵损失: 0.45524317026138306
>>> 根据公式实现的交叉熵损失: 0.4552431106567383
>>> PyTorch 计算的带权重的交叉熵损失: 0.5048722624778748
>>> 根据公式实现的带权重的交叉熵损失: 0.50487220287323
>>> PyTorch 计算的标签平滑的交叉熵损失: 0.5469098091125488
>>> 根据公式实现的标签平滑的交叉熵损失: 0.5469098091125488

输出没有抛出 AssertionError，验证通过。

参考链接

CrossEntropyLoss - Docs