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什么是孪生素数猜想

什么是孪生素数猜想

素数p与素数p+2有无穷多对

孪生素数的公式(详见百度百科:孪生素数公式)

利用素数的判定法则,可以得到以下的结论:“若自然数q与q+2都不能被任何不大于\sqrt{q+2}的素数 整除,则q与q + 2都是素数”。这是因为一个自然数n是素数当且仅当它不能被任何小于等于\sqrt{n}的素数整除。 用数学的语言表示以上的结论,就是:

存在一组自然数

b_{1},b_{2},....,b_{k}

使得

q=p_{1}m_{1}+b_{1}=p_{2}m_{2}+b_{2}=...=p_{k}m_{k}+b_{k}

.......(1)

其中 p_{1},p_{2},.....,p_{k}表示从小到大排列时的前k个素数:2,3,5,....。并且满足

1≦ i ≦ k,

b_{i}\prec p_{i}

b_{i}\neq 0, b_{i}\neq p_{i}-2.

这样解得的自然数q如果满足q\prec p_{k+1}^{2}-2,

则q与q+2是一对孪生素数。

我们可以把(1)式的内容等价转换成为同余方程组表示:

q ≡b_{1} (modp_{1}), q ≡b_{2}(modp_{2}), ..., q ≡b_{k}(mod p_{k}).....(2)

由于(2)的模p_{1},p_{2},.....,p_{k}都是素数,因此两两互素,根据孙子定理(中国剩余定理)知,对于给定的 b_{1},b_{2},....,b_{k},(2)式有唯一 一个小于p_{1}p_{2}...p_{k}的正整数解。

范例

例如k=1时,

q=2m_{1}+1

解得q=3, 5。由于5\prec 3^{2}-2,所以可知3与3+2、5与5+2都是孪生素数。这样就求得了区间(3, 3^{2})里的全部孪生素数对。

又比如k=2时,

列出方程

q=2m_{1}+1=3m_{2}+2

解得q=5,11,17。由于17<5^{2}-2,所以11与11+2、17与17+2都是了孪生素数。由于这已经是所有可能的b_{1},b_{2},....,b_{k}值,所以这样就求得了区间(5, 5^{2})的全部孪生素数对。

k=3时5m_{3}+15m_{3}+25m_{3}+4
q=2m_{1}+1=3m_{2}+211 ;411729

由于这已经是所有可能的b_{1},b_{2},....,b_{k}值,所以这样就求得了区间(7, 7^{2})的全部孪生素数对。

k=4时7m_{4}+17m4+27m4+37m4+47m4+6
q=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+1711911011141
q=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+219710717137167
q=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+42914959179209

    由于这已经是所有可能的b_{1},b_{2},....,b_{k}值,所以这样就求得了区间(11, 11^{2})的全部孪生素数对(8个小于121-2的解)。       仿此下去可以一个不漏地求得任意大的数以内的全部孪生素数对。

结论推广

孪生素数猜想就是在k值任意大时(1)和(2)式都有小于p_{k+1}^{2}-2的解。问题已经转入初等数论范围。 参考文献,孪生质数公式,【中等数学】2000年1期

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