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什么是孪生素数猜想

news 2025/7/5 10:06:44

什么是孪生素数猜想

素数p与素数p+2有无穷多对

孪生素数的公式（详见百度百科：孪生素数公式）

利用素数的判定法则，可以得到以下的结论：“若自然数q与q+2都不能被任何不大于 $\sqrt{q+2}$ 的素数整除，则q与q + 2都是素数”。这是因为一个自然数n是素数当且仅当它不能被任何小于等于 $\sqrt{n}$ 的素数整除。用数学的语言表示以上的结论，就是：

存在一组自然数

$b_{1},b_{2},....,b_{k}$ ，

使得

$q=p_{1}m_{1}+b_{1}=p_{2}m_{2}+b_{2}=...=p_{k}m_{k}+b_{k}$

.......(1)

其中 $p_{1},p_{2},.....,p_{k}$ 表示从小到大排列时的前k个素数：2，3，5，....。并且满足

1≦ i ≦ k,

$b_{i}\prec p_{i}$

$b_{i}\neq 0$ , $b_{i}\neq p_{i}-2$ .

这样解得的自然数q如果满足 $q\prec p_{k+1}^{2}-2$ ,

则q与q+2是一对孪生素数。

我们可以把（1）式的内容等价转换成为同余方程组表示：

q ≡ $b_{1}$ （mod $p_{1}$ ）, q ≡ $b_{2}$ （mod $p_{2}$ ）, ..., q ≡ $b_{k}$ （mod $p_{k}$ ）.....(2)

由于（2）的模 $p_{1},p_{2},.....,p_{k}$ 都是素数，因此两两互素，根据孙子定理（中国剩余定理）知，对于给定的 $b_{1},b_{2},....,b_{k}$ ，（2）式有唯一一个小于 $p_{1}p_{2}...p_{k}$ 的正整数解。

范例

例如k=1时，

$q=2m_{1}+1$ ，

解得q=3, 5。由于 $5\prec 3^{2}-2$ ，所以可知3与3+2、5与5+2都是孪生素数。这样就求得了区间(3, $3^{2}$ )里的全部孪生素数对。

又比如k=2时，

列出方程

$q=2m_{1}+1=3m_{2}+2$ ，

解得q=5,11,17。由于17< $5^{2}-2$ ，所以11与11+2、17与17+2都是了孪生素数。由于这已经是所有可能的 $b_{1},b_{2},....,b_{k}$ 值，所以这样就求得了区间(5, $5^{2}$ )的全部孪生素数对。

k=3时	$5m_{3}+1$	$5m_{3}+2$	$5m_{3}+4$
$q=2m_{1}+1=3m_{2}+2$	11 ;41	17	29

由于这已经是所有可能的 $b_{1},b_{2},....,b_{k}$ 值，所以这样就求得了区间(7, $7^{2}$ )的全部孪生素数对。

k=4时	$7m_{4}+1$	7m4+2	7m4+3	7m4+4	7m4+6
$q=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+1$	71	191	101	11	41
$q=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+2$	197	107	17	137	167
$q=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+4$	29	149	59	179	209

　　　由于这已经是所有可能的 $b_{1},b_{2},....,b_{k}$ 值，所以这样就求得了区间(11, $11^{2}$ )的全部孪生素数对（8个小于121-2的解）。　　　　　仿此下去可以一个不漏地求得任意大的数以内的全部孪生素数对。

结论推广

孪生素数猜想就是在k值任意大时（1）和（2）式都有小于 $p_{k+1}^{2}-2$ 的解。问题已经转入初等数论范围。参考文献，孪生质数公式，【中等数学】2000年1期

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