[信号与系统]关于双线性变换

前言

本文还是前置知识

双线性变换法

双线性变换法（Bilinear Transform）是一种用于将模拟滤波器转换为数字滤波器的方法。它通过将模拟域中的s平面上的传递函数映射到数字域中的z平面上的传递函数来实现这一转换。双线性变换法保证了频率响应在转换过程中不会产生混叠，并且在设计IIR滤波器时非常常用。

双线性变换的基本原理

双线性变换通过以下关系将s平面的传递函数转换为z平面的传递函数：

$$s=\frac{2}{T}\cdot \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$$

其中：

• $s$ 是模拟域的复数频率变量。
• $z$ 是数字域的复数频率变量。
• $T$ 是采样周期。

这个公式将s平面的每一点双线性映射到z平面的一个点上，并且这种映射是保角的，即保持了角度关系。

双线性变换是一种用于将连续时间系统的频域表示（通常用拉普拉斯变换表示）转换为离散时间系统频域表示（通常用Z变换表示）的方法。这种转换特别有用，因为它允许我们将连续时间滤波器的设计（模拟滤波器）转化为离散时间滤波器的设计（数字滤波器），以便在数字信号处理（DSP）系统中实现。

作用：

双线性变换是将连续时间系统（模拟信号）的频域表示转换为离散时间系统（数字信号）频域表示的一种方法。通过这种变换，我们可以设计数字滤波器，使其频率响应与对应的模拟滤波器尽可能匹配。

转换过程

1. 模拟传递函数：
   首先，从模拟滤波器的设计得到其传递函数 $H(s)$。

2. 应用双线性变换：
   使用双线性变换公式，将 $s$ 替换为 $\frac{2}{T}\cdot \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$，得到数字域的传递函数 $H(z)$。

3. 化简传递函数：
   将得到的 $H(z)$ 化简为标准形式，通常表示为两个多项式的比值。

例子

假设我们有一个一阶低通模拟滤波器，其传递函数为：

$$H(s)=\frac{{\omega }_c}{s+{\omega }_c}$$

其中，${\omega }_c$ 是截止角频率。

步骤1：应用双线性变换

使用双线性变换公式，将 $s$ 替换为 $\frac{2}{T}\cdot \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$：

$$H(z)=\frac{{\omega }_c}{\frac{2}{T}\cdot \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}+{\omega }_c}$$

步骤2：化简传递函数

进行化简：

$$H(z)=\frac{{\omega }_c(1+z^{-1})}{\frac{2}{T}(1-z^{-1})+{\omega }_c(1+z^{-1})}$$

$$H(z)=\frac{{\omega }_c(1+z^{-1})}{\frac{2}{T}-\frac{2}{T}{z}^{-1}+{\omega }_c+{\omega }_c{z}^{-1}}$$

$$H(z)=\frac{{\omega }_c(1+z^{-1})}{\left(\frac{2}{T}+{\omega }_c\right)+\left({\omega }_c-\frac{2}{T}\right)z^{-1}}$$

最后将分子和分母乘以 $T/2$ 进行化简：

$$H(z)=\frac{\frac{{\omega }_{c}T}{2}(1+z^{-1})}{1+\left(\frac{{\omega }_{c}T-2}{{\omega }_{c}T+2}\right)z^{-1}}$$

这就是数字滤波器的传递函数。